배수(수학)

1. 개요[편집]

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倍數 / Multiple

어떤 정수의 ‘정수 배’가 되는 정수.[1] 예를 들어, [math(4)]는 [math(2)]의 두 배이므로 [math(4)]는 [math(2)]의 배수가 된다. 수학적인 정의는 다음과 같다.

기초적인 것은 5학년 올라와서 배우지만, 중학교 입학하게 되면 더 심화된 내용으로 나온다.


따라서 배수는 음수에 대하여도 정의된다.[2] 예를 들면, [math(-6)]은 [math(3)]에 [math(-2)]를 곱한 것이므로 [math(-6)]은 [math(3)]의 배수이다. [math(0)]은 [math(3)]에 [math(0)]을 곱한 것이므로 [math(0)]도 [math(3)]의 배수가 된다. 그리고 원래 [math(0)]은 모든 정수의 배수이다. 왜냐하면 임의의 정수 [math(b)]에 대하여 [math(b * 0 = 0)]이기 때문이다. 따라서 [math(0)]의 배수는 정의되지 않는다.

정수 [math(a)]가 정수 [math(b)]의 배수이면 [math(b)]는 [math(a)]의 약수이다.

두 개의 정수 [math(a)]와 [math(b)]에 대해서, [math(a)]가 [math(b)]의 배수이면, [math(b)]|[math(a)]로 표기한다.

2. 배수 판별법[편집]

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어떤 자연수의 배수들은 공통된 성질을 띄는 경우가 있다. 이것을 이용하여 직접 나누기에는 큰 정수가 어떤 자연수의 배수인지 아닌지를 쉽게 판별할 수 있다. 정수 0은 모든 정수의 배수기도 하고 적용되지 않는 경우도 있기 때문에, 아래의 방법에서 제외한다. 두 자리 이상의 합성수 배수(2의 거듭제곱수, 10 제외)에는 굵은 글씨로 표기하였다.

다음 제공되는 수를 약수로 가지면서 동일한 방법을 적용할 수 있는 경우는 작성하지 않았다.
어떤 수가 합성수의 배수인지 아닌지 판정하려면 해당 수의 유니타리 약수[3]의 배수 판정법들을 이용하면 된다. 예를 들어 84의 경우는 2^2(=4), 3, 그리고 7의 공배수임을 이용하면 된다.

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끝 자리와 관련된 판별법

• 1의 배수 : 모든 자연수(정수). 1은 곱셈의 항등원이다.
• 2의 배수 : '일의 자리'가 0 또는 2의 배수(2, 4, 6, 8), 즉 짝수인 수.
  • 2의 거듭 제곱(n = 2^m = 2, 4, 8, 16, ...) 배수 : 끝 m자리가 n의 배수인 수.

  • 2의 거듭 제곱의 배수 (다른 판별법) [ 펼치기 · 접기 ]

    (n = 2^m = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...) 배수
    

    • 4의 배수 : 십의 자리와 일의 자리가 모두 0인 수, 십의 자리가 홀수면 일의 자리가 2 또는 6, 십의 자리가 짝수면 일의 자리가 0, 4, 또는 8인 수.[1]
      달력에서 윤년 판별도 이것을 가지고 한다. 여기에 해당되는 해는 일부 예외를 제외하고는 2월 29일이 있다.
    • 8의 배수 : 십의 자리를 2배한 수를 a라고 놓고 그 a에 일의 자리를 더한 수를 b라고 놓는다. 만약 백의 자리가 홀수이면 b가 4의 배수이되 8의 배수는 아닐 경우, 백의 자리가 없거나 짝수이면 b가 0이거나 8의 배수일 경우 8의 배수다.[2]
      예를 들어 64는 십의 자리를 2배하면 6×2=12이고 여기에 4를 더하면 16인데 백의 자리가 없고 16이 8의 배수이므로 64는 8의 배수다. 또, 768은 십의 자리를 2배해서 일의 자리를 더하면 6×2+8=20인데 백의 자리(7)가 홀수이고 20이 4의 배수이되 8의 배수가 아니므로 768은 8의 배수다.

    더 간단히 판별하자면, 백의 자리가 없거나 짝수이면 끝의 두 자리(십의 자리와 일의 자리)가 8의 배수일 경우, 백의 자리가 홀수이면 끝의 두 자리만 취한 값에서 4를 더한 값이 8의 배수일 경우 8의 배수다.
    

    • 16의 배수 : 우선 끝의 두 자리만 취한 값을 a로 놓는다. 그리고 끝의 네 자리 중 앞의 두 자리(천의 자리와 백의 자리)를 b로 놓고 b를 4로 나눈 다음 그 나머지에 4를 곱해서 a에 더해 본다. 그 결과 a가 0이거나 16의 배수이면 그 수는 16의 배수다.[3]
      예: 이 방법으로 65536이 16의 배수인지 확인한다면 a는 끝의 두 자리인 36으로 b는 끝의 네 자리 중 앞의 두 자리인 55로 놓는다. 55를 4로 나눈 나머지는 3이므로 그 3에 4를 곱한 12를 a에 더하면 36+12=48. 그리고 48은 16의 배수이므로 65536은 16의 배수임을 알 수 있게 된다. (65536÷16=4096)

    다른 방법으로는, 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 bc×4+de=16×k.
    

    • 32의 배수 : 만의 자리와 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 4(abc)+de=32k.
    • 64의 배수 : 십만의 자리와 만의 자리와 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcdef가 있다면 4(abcd)+ef=64k.

• 5의 배수 : '일의 자리'가 5 또는 0인 수.
  • 5의 거듭 제곱(n = 5^m = 5, 25, 125, ...) 배수 : 끝 m자리가 n의 배수인 수.
• 10의 배수 : 두 자리 이상이면서 '일의 자리'가 0인 수[4]
  이래서인지 10의 배수가 제일 간단하다, 다르게 보자면, 5의 배수 중 짝수인 수, 즉 2와 5의 공배수다.
  • 10의 거듭 제곱(n = 10^m = 10, 100, 1 000, ...) 배수 : 끝 m자리가 모두 0인 수.

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자릿수 각각의 합/차와 관련된 판별법

• 3의 배수 : 각 자릿수의 합이 3의 배수인 수.[5]
  예를 들어 825는 각 자릿수의 합이 8+2+5=15이고, 15가 3의 배수이므로 825는 3의 배수다. 그러나 961은 각 자릿수의 합이 9+6+1=16이고, 16이 3의 배수가 아니므로 961은 3의 배수가 아니다.
  나온 수로도 짐작이 안 될 경우엔 반복하면 된다.

• 9의 배수 : (3의 배수 중) 각 자릿수의 합이 9의 배수인 수.[6]
  예를 들어 765는 각 자릿수의 합이 7+6+5=18이고, 18이 9의 배수이므로 765는 9의 배수다. 그러나 573은 각 자릿수의 합이 5+7+3=15이고, 15가 9의 배수가 아니므로 573은 9의 배수가 아니다.
  한자리 수가 나올 때까지 반복 작업할 경우 최종적으로 9가 나오는 수.
• 11의 배수 : 짝수 자리(십, 천, 십만, 천만, ...)의 숫자들의 합과 홀수 자리(일, 백, 만, 백만, 억, ...)의 숫자들의 합의 차가 11의 배수인 수.[7]
  9581=11×871, (9+8)-(5+1)=11
  [8]
  참고로 이것은 짝수 자릿수를 가진 대칭수가 모두 11의 배수인 이유인 동시에 짝수 자릿수를 갖는 회문 소수는 11이 유일한 이유이기도 하다.

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• 6의 배수 : 각 자릿수의 합이 3의 배수인 수 중 짝수인 수. 즉 2와 3의 공배수.[11]
  예를 들어 876은 각 자릿수의 합이 8+7+6=21인 3의 배수이면서 짝수이므로 876은 6의 배수다. 그러나 315는 각 자릿수의 합은 3+1+5=9인 3의 배수이지만 홀수이므로 6의 배수가 아니다. 또한 346은 짝수이지만 각 자릿수의 합이 3+4+6=13으로 3의 배수가 아니므로 346은 6의 배수가 아니다.

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• 7의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 뺀다.[12]
  이 방법은 '스펜스의 방법'이라고도 불린다.
  예를 들어 abcde가 있다면 abcd-2e=7k[13]
  k는 임의의 수로 정해지지 않은 불특정 수이다.
  . 쉽게 설명하자면 임의의 수 a가 7의 배수인지를 판별하고자 할 때 a를 10으로 나눈 값을 b라고 놓고 그 나머지를 c라고 놓는다면 b에서 c를 2배한 값을 뺐을 때 그 값이 0이거나 7의 배수면 a는 7의 배수가 된다.[14]
  1001로 예시를 든다면 1001 → 100-(1×2) = 98 = 7×14
  이 숫자로도 짐작이 안 간다면 이를 반복, 그 결과가 7의 배수면 여태 거쳐온 숫자들도 전부 7의 배수다.

• 13의 배수 : 7의 배수판정법과 반대이다. 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 일의 자리 숫자를 4배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+4e=13k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.

• 17의 배수 : 7의 배수판정법과 비슷하게, 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-5e=17k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 19의 배수 : 7의 배수판정법과 반대이다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+2e=19k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 21의 배수 : 7의 배수판정법과 동일하게 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 빼고, 각 자릿수를 더했을시, 3의 배수가 되면 그 수도 21의 배수이다.
• 23의 배수 : 7의 배수판정법과 반대이다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자의 2배를 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abcd)-2e=23k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.

• 27의 배수 : 9의 배수의 확장 버전. 4자리 이상일 경우 일의 자리에서부터 수를 세 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 27의 배수이면 된다.

• 29의 배수 : 7의 배수판정법과 반대이다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+3e=29k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 31의 배수 : 7의 배수판정법과 비슷하게, 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-3e=31k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 33의 배수 : 27의 배수 판정법과 비슷하게 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 더한 합이 33의 배수인 경우. 예를 들어 abcde가 있다면 a+bc+de=33k
• 37의 배수 : 27의 배수와 똑같이, 4자리 이상일 경우 일의 자리에서부터 수를 세 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 37의 배수이면 된다.

• 41의 배수 : 여섯 자리 수 이상인 경우 다섯 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 41의 배수이면 된다.

• 43의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 13배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+13e=43k.

• 47의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 14배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-14e=47k.

• 49의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+5e=49k.

• 51의 배수 : 17의 배수판정법과 동일하게 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 뺀 값이 51의 배수이면 본래의 수도 51의 배수다.
• 53의 배수 : 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 16배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+16e=53k.

• 59의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 6배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+6e=59k.
• 61의 배수 : 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 6배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-6×e=61k.
• 67의 배수 : 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 20배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-20e=67k.

• 71의 배수 : 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 7배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-7e=71k.
• 73의 배수 : 7의 배수 판정법과 비슷하게 네 자리 씩 끊어서 오른쪽부터 교대로 빼고 더하고를 반복한다. 예를 들어 abcdefghi가 있다면 fghi-bcde+a=73k
• 77의 배수 : 7의 배수 판정법과 동일하게 세 자리 씩 끊어서 교대로 빼고 더한 값이 77의 배수인 경우.
• 79의 배수 : 19의 배수 판정법과 비슷하다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+8e=79k.
• 81의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-8e=81k.
• 83의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 25배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+25e=83k.
• 89의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 9배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+9e=89k.
• 91의 배수 : 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 9배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-9e=91k.

• 97의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 29배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-29e=97k.

• 99의 배수 : 33의 배수 판정법과 동일하게 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 더한 값이 99의 배수인 경우.
• 101의 배수 : 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 de-bc+a=101k.
• 103의 배수 : 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 3배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abc)-de=103k.
• 107의 배수 : 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 7배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 7(abc)-de=107k.
• 109의 배수 : 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 9배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 9(abc)-de=109k.
• 111의 배수 : 일의 자리부터 세 자리 씩 끊은 뒤에 더한다. 이 값이 111의 배수이면 본래의 수도 111의 배수다.
• 113의 배수 : 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 13배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 13(abc)-de=113k.
• 121의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 12배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-12e=121k.
• 127의 배수 : 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 27배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 27(abc)-de=127k.
• 131의 배수 : 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 13배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-13e=131k.
• 137의 배수 : 73의 배수 판정법과 동일하게 네 자리 씩 끊어서 오른쪽부터 교대로 빼고 더하고를 반복한다. 예를 들어 abcdefghi가 있다면 fghi-bcde+a=137k

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초중생 학습서에서 배수 판정법을 소개할 때 7의 배수 판정법은 없다고 못박는 경우가 많은데, 실제로는 있다. 다만, 7의 배수판정법은 까다로움이 13 이상의 큰 소수의 배수판정법과도 맥을 같이 하기 때문에 생략하는 것이다. 7의 배수 판정법을 소개한 네이버캐스트 수학산책의 글

한편, 임의의 수를 소수의 곱 꼴로 바꿀 수 있는데 이를 소인수분해라고 한다. 달리 말하면 배수는 소인수분해의 역이다.

2.1. 법칙[편집]

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배수 판정법에서는 일반적으로 다음과 같은 법칙이 성립한다.

• 서로소인 자연수 a₁, a₂, ..., a_n과 음이 아닌 정수 b₁, b₂, ..., b_n에 대하여 어떤 자연수 c가 a₁^b₁×a₂^b₂×...×a_n^b_n의 배수일 필요충분조건은 c가 a₁^b₁, a₂^b₂, ..., a_n^b_n의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 어떤 자연수가 200=2³×5²의 배수일 필요충분조건은 그 자연수가 8=2³의 배수이면서 25=5²의 배수여야 한다는 것이다.
• 2 이상의 자연수 n에 대하여 n진법에서 (n-1)의 배수일 필요충분조건은 각 자릿수의 합이 (n-1)의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 십진법에서는 9의 배수일 필요충분조건은 각 자릿수의 합이 9의 배수여야 한다는 것이다.
  • n진법에서 1부터 수를 세어 나가면 1, 2, 3, ..., (n-1), 10, 11, ...이 되는데, 여기서 값이 1 증가할 때 특정 자릿수의 값이 (n-1)에서 0으로 바뀌지 않으면 각 자릿수의 합은 1 증가한다. 또 특정 자릿수의 값이 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우, 나머지 자릿수 중 값이 1 증가하는 것이 하나 있기 때문에 각 자릿수의 합을 (n-1)로 나눈 나머지는 1 증가한다. 여기서 (n-1)은 (n-1)의 배수이므로 이것이 성립한다.
  • 이를 확장하면 n진법에서 n^k-1(k는 자연수) 또는 그 약수의 배수인지를 판정할 수 있다. 예를 들어 십진법에서 99=10²-1의 배수인지를 판정하려면 일의 자리부터 두 자리씩 묶어서 그 수들의 합이 99의 배수이면 99의 배수인 것이고, 이로부터 당연히 그 약수인 11의 배수임을 알 수 있다. 예를 들어 15048은 두 자리씩 묶으면 1, 50, 48이고 1+50+48=99이므로 15048은 99의 배수이다. 위의 27, 37도 999의 약수이며, 303, 909의 배수, 41, 123, 271의 배수판정법 역시 이를 이용할 수 있다. 이론상 n진법에서 n과 서로소인 모든 수[18]
    이런 수는 n진법에서 역수를 소수(decimal number)로 표기하면 순순환소수로 나온다. 그리고 그 순환마디를 그 수에 곱하면 nk-1가 나온다.
    에 적용이 가능하지만 그 수의 순환마디가 너무 긴 경우 적용하기 곤란해진다.[19]
    예를 들어 10진법에서 23의 배수 판정법을 이런식으로 판별하려면 1÷23의 순환마디가 22자리이므로 22자리씩 끊어야 된다.
  • 이와 비슷하게 n진법에서 n^k+1(k는 자연수) 또는 그 약수의 배수인지를 판정할 수 있다. 예를 들어 십진법에서 101=10²+1의 배수인지를 판정하려면 일의 자리부터 두 자리씩 묶어서 오른쪽부터 나열한 뒤 빼고 더하고를 교대로 반복한 값이 101의 배수이면 101의 배수임을 알 수 있다. 예를 들어 34643을 두 자리씩 묶은 뒤 오른쪽부터 배열하면 43, 46, 3이고 43-46+3=0이므로 34643은 101의 배수이다. 위의 7, 11, 13, 77, 91, 143의 배수 판정법도 이 방법을 이용할 수 있으며, 73, 137, 9091 역시 이 방법을 이용한 것. 이 방법은 n진법에서 n과 서로소인 자연수여서 역수를 소수로 표현하면 순순환소수가 되면서 순환마디가 짝수인 모든 수에 적용할 수 있다. 물론 순환마디가 너무 길 경우 이 방법을 적용하기 어렵다.[20]
    예를 들면 97의 경우 역수의 순환마디가 96자리이므로 이 방법을 적용하려면 48자리씩 끊어야 한다.
• 2ⁿ 또는 5ⁿ 꼴의 경우 일의 자리부터 n개 자리의 값, 즉 그 수를 10ⁿ으로 나눈 나머지가 그 수의 배수여야 한다. 예를 들어 112800은 일의 자리부터 만의 자리까지 5개 자리의 값이 12800이고, 이는 32의 배수이므로 2⁵=32의 배수이다.

3. 관련 문서[편집]

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• 최소공배수
• 약수(수학)
• 소인수분해
• 산술의 기본정리