오심과 관련된 정리

1. 개요[편집]

---

삼각형의 오심과 관련된 여러 정리들과 더불어 한국수학올림피아드에 나오는 정리들을 기재하는 문서이다.

모든 정리의 기호는 삼각형 [math(\triangle ABC)]의 외심 [math(O)], 내심 [math(I)], 무게중심 [math(G)], 수심 [math(H)], 방심 [math(I_{A})]를 따른다.
[math(a=\overline{BC})], [math(b=\overline{CA})], [math(c=\overline{AB})]으로 두고, [math(S)], [math(r)], [math(R)], [math(r_{A})], [math(s)]를 각각 도형의 면적, 내접원의 반지름, 외접원의 반지름, 방접원 [math(I_{A})]의 반지름, 삼각형의 둘레의 반([math(={1 \over 2}(a+b+c))])이라 하자.

2. 기본적인 정리[편집]

---

1. 세르보어 정리
   [math(O)]에서 변 [math(\overline{BC})]에 내린 수선의 발을 [math(M)]라 할 때, [math(\overline{AH}=2\overline{OM})]이다. 증명은 외심 참고.
2. 등각켤레
   [math(\angle BAO=\angle CAH)]
3. 수선의 발과 공원점
   [math(A)], [math(B)]에서 변 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)]라 할 때, [math(\left(A,B,D,E\right))]와 [math(\left(C,E,H,D\right))]는 공원점이다.
4. 각각 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]를 지나고, 한 점에서 만나는 세 직선을 그리자. 이 직선들의 교점을 [math(X)]라 하자. [math(X)]에서 각 변에 내린 수선의 발을 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 할 때, [math(\overline{XD}+\overline{XE}+\overline{XF})]가 최소인 점 [math(X)]는 [math(H)]다.
5. [math(\triangle ABC)]의 수족 삼각형의 내심은 [math(H)]다.
6. [math(A)], [math(I)], [math(I_{A})]는 한 직선 위에 있다.
7. [math(\triangle ABC)]의 방심들이 이루는 삼각형의 수심은 [math(I)]다. (삼각형의 내심과 방심은 수심조이다.)
8. ([math(A)], [math(B)], [math(I_{A})], [math(I_{B})])는 한 원 위에 있다.
9. 맨션 정리
   삼각형 [math(\triangle ABC)]의 외접원 [math(K)]와 반직선 [math(\overline{AI})]의 교점을 [math(D)]라 하자. 이 때 [math(\overline{DB}=\overline{DC}=\overline{DI}=\overline{D{I_{A}}})]다.
10. 반직선 [math(\overrightarrow{AI})]와 변 [math(\overline{BC})]의 교점을 [math(K)]라 하면, [math(\overline{AI}/\overline{KI}=\left(b+c\right)/a)]이다.
11. 삼각형 내부의 점 [math(P)]에서 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})], [math(\overline{AB})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 하면 [math(\overline{BC}/\overline{PD} + \overline{CA}/\overline{PE}+\overline{AB}/\overline{PF})]의 값이 최소인 점 [math(P)]는 [math(I)]이다.
12. [math(S=\displaystyle {abc \over 4R}=2R^2 \sin A \sin B \sin C={a^2 \sin B \sin C \over 2 \sin A})] (사인법칙의 활용)
13. [math(S=\displaystyle {1 \over 2} (a+b+c)r =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})]
14. 삼각형 내부의 점 [math(P)]에서 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})], [math(\overline{AB})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 하면, [math(\overline{PD}\cdot\overline{PE}\cdot\overline{PF})]가 최댓값인 점 [math(P)]는 [math(G)]이다.
15. 이 때 [math(S\left(\triangle ABC\right)=r_{A}\left(b+c-a\right)/2)]
16. [math(\overline{OI}^2=R^2-2Rr)](오일러 삼각형 정리)

3. 보통 정리[편집]

---

1. 라이프니츠 정리
   [math(P)]가 삼각형 [math(ABC)]와 같은 평면 위의 임의의 한 점일 때, 다음 정리가 성립한다.
   1. [math(\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{AG}^2 + \overline{BG}^2 + \overline{CG}^2 + 3\overline{PG}^2)]
   2. [math(\overline{GA}^2 + \overline{GB}^2 + \overline{GC}^2 = \left(\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\right)/3)]
2. 오일러 직선
   [math(O)], [math(G)], 구점원의 중심 [math(V)], [math(H)]가 공선점(일직선)이다.
   [math(\overline{OG} : \overline{GV} : \overline{VH} = 2 : 1 : 3)]이다.
3. 삼각형의 면적은 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형 면적의 등비중항이다.
4. 삼각형의 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형의 오일러 직선이 일치한다.
5. 삼각형 [math(\triangle ABC)]의 임의의 점 [math(P)]에서 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 할 때, [math(S\left(\triangle DEF\right)/S\left(\triangle ABC\right) =\frac{\left|R^2 - OI^2\right|}{4R^{2}})]이다.

4. 심화 정리[편집]

---

1. 포이어바흐 정리
   구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다. (증명은 반전기하(inversion)을 사용한다.)
2. Mixtilinear Circle
   1. 삼각형 [math(\triangle ABC)]의 외접원과 두 변 [math(\overline{AB})], [math(\overline{AC})]와 접하는 원 [math(Q)]를 잡자. [math(Q)]와 [math(\overline{AB})], [math(\overline{AC})]의 교점을 각각 [math(M)], [math(N)]이라 하면, [math(\overline{MN})]의 중점은 [math(I)]이다.
3. 오심을 지나는 직선이 두 선분을 자르는 비율과 관련된 정리
   주어진 $\backslash triangle\; ABC$와 오심 중 하나인 점 $P$가 있다. 이 때, 임의의 $P$를 지나고, 반직선 $AB$, 반직선 $AC$와 둘 다 만나는 직선이 반직선 $AB$, $AC$와 만나는 점을 각각 $M$, $N$이라 할 때, $\backslash overline\{AM\}$의 길이와 $\backslash overline\{AN\}$의 길이의 관계식은 다음과 같다.
   1. $P$가 내심일 때: $\backslash dfrac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AM\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; B\; +\; \backslash dfrac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AN\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; C\; =\; \backslash sin\; A\; +\; \backslash sin\; B\; +\; \backslash sin\; C$.
   2. $P$가 외심일 때: $\backslash dfrac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AM\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 2B\; +\; \backslash dfrac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AN\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; 2C\; =\; \backslash sin\; 2A\; +\; \backslash sin\; 2B\; +\; \backslash sin\; 2C$.
   3. $P$가 수심일 때: $\backslash dfrac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AM\}\}\; \backslash cdot\; \backslash tan\; B\; +\; \backslash dfrac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AN\}\}\; \backslash cdot\; \backslash tan\; C\; =\; \backslash tan\; A\; +\; \backslash tan\; B\; +\; \backslash tan\; C$.
   4. $P$가 직선 $BC$에 대하여 점 $A$와 다른 방향에 있는 방심일 때: $\backslash dfrac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AM\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; B\; +\; \backslash dfrac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AN\}\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; C\; =\; -\backslash sin\; A\; +\; \backslash sin\; B\; +\; \backslash sin\; C$.
   5. $P$가 무게중심일 때: $\backslash dfrac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AM\}\}\; +\; \backslash dfrac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AN\}\}\; =\; 3$.