유클리드 기하학

1. 개요[편집]

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Euclidean geometry · Euclid 幾何學

그리스 수학자인 유클리드에 의해 체계화된 수학의 한 분야이다. 유클리드의 저서 원론의 제일 처음에 등장한다.[1] 이 원론은 수학의 논리적 근원이라 할 수 있는 '공리 체계'를 도입하는 것으로부터 시작했는데, 이 유클리드의 기하학은 오랜 세월동안 아리스토텔레스의 연역적 논리 체계에 대한 모범이자, 수학의 증명법 및 형식적 이론의 모범이 되었다. 유클리드 이전에도 많은 수학자들이 유클리드가 증명해낸 성과들을 알고 있었지만, 유클리드는 이러한 명제가 포괄적이고 연역적이며 논리적인 시스템에 어떻게 들어갈 수 있는지를 처음으로 보여 주었다.

유클리드 기하학은 좌표를 사용하지 않고 공리에서 명제로 논리적으로 진행된다는 점에서 순수 기하학, 공리 기하학, 논증 기하학, 합성 기하학 등으로 불리기도 하며,[2] 좌표를 사용하는 해석기하학과 대조적이다.

요즘은 후술할 유클리드 공간에서의 공리를 뜻하는 것으로 의미로 한정되어 사용되는 경우도 있다.

유클리드 기하학이 적용되는 위상 공간을 유클리드 공간(Euclidean space)이라고 한다.[3] 이를 무한차원으로 확장한 것이 힐베르트 공간(Hilbertraum)이다.

2. 23개의 정의[편집]

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원론에는 23개의 정의가 등장하는데 다음과 같다.

3. 5개의 공준[편집]

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이어서 5개의 공준(=공리[4])가 등장하는데 다음과 같다.

한 가지 재밌는 내용을 덧붙이자면, 유클리드 본인도 기하학 공리 중 앞의 4개는 명백해 보였으나, 마지막 평행선 공리는 이것이 정말 공리가 맞는지, 아니면 혹시 앞의 4개로부터 연역적으로 추론할 수 있는 것은 아닌지 확신하지 않았다고 한다.[9] 그래서 유클리드를 포함한 후세의 수학자들은 기하학의 문제를 증명할 때 가급적 평행선 공리를 쓰지 않고 증명하고자 하는 경향이 있었다. 평행선 공리가 공리인지 아닌지 밝히고자 하는 노력이 잘 되지 않자, 19세기 수학자들은 전략을 바꿔, 귀류법을 사용하여 평행선 공리가 거짓이라고 가정하면 모순이 발생함을 보여 평행선 공리가 참임을 증명하여 공리인 것을 밝히고자 했다. 그런데 원래 의도와는 달리, 평행선 공리를 거짓으로 하는 새로운 공리계를 만들었더니 아무런 모순이 발견되지 않았다![10] 그리하여 19세기에 이르러 니콜라이 로바체프스키와 보여이 야노시 등에 의해 제5공준을 부정하는 기하학이론 체계가 완성[11]되면서 비유클리드 기하학이라는 이름이 붙고, 제5공준을 받아들이는 기하학을 유클리드 기하학이라고 부르게 된다. 간단한 예로 공 위의 세 점을 잇는 삼각형을 그리면 각각의 선분은 직선이 아니라 곡선이며 삼각형의 세 내각의 합은 180도보다 크다(구면기하학 or 리만기하학[12]). 또한 말 안장 위의 세 점을 잇는 삼각형을 그리면 세 내각의 합은 180도 보다 작게 된다.[13]

4. 같이 보기[편집]

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• 벡터(유클리드 기하학) - 유클리드 공간 위에 정의된 벡터이다. 고등학교 과정이나 물리학에서 말하는 '벡터'가 이것.
• 비유클리드 기하학
• 기하학 원론
• 사영기하학
• 위상수학
• 힐베르트 공간