타원
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1. 개요[편집]
楕圓 / ellipse
기하학에 등장하는 도형의 일종으로, 수학적 정의는
이다. 그러므로 원 역시 초점이 일치하는 하나의 타원으로 볼 수 있다.
원뿔곡선 중 가장 간단한 형태로, 원을 잡아늘려서 만들 수도 있다.
유명한 알모양곡선(난형선, oval)의 하나이다
2. 타원의 방정식[편집]
- 방정식: [math(\displaystyle {\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1} )]
- 그래프
- [math(a>b>0)]
- [math(b>a>0)]
- 조건: [math(\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=\textsf{const.})]
- 중심의 좌표: [math(\mathrm{C}(x_{0},\,y_{0}))]
- 초점의 좌표
- [math(a>b>0)]: [math(\mathrm{F}(\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{F'}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}+x_{0},\,y_{0}))]
- [math(b>a>0)]: [math(\mathrm{F}(x_{0},\,\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0}))], [math(\mathrm{F'}(x_{0},\,-\sqrt{b^{2}-a^{2}}+y_{0}))]
- 꼭짓점의 좌표
- [math(a>b>0)]: [math(\mathrm{A}(a+x_{0},\,y_{0}))], [math(\mathrm{A'}(-a+x_{0},\,y_{0}))]
- [math(b>a>0)]: [math(\mathrm{B}(x_{0},\,b+y_{0}))], [math(\mathrm{B'}(x_{0},\,-b+y_{0}))]
- 장축의 길이
- [math(a>b>0)]: [math(2a)]
- [math(b>a>0)]: [math(2b)]
- 단축의 길이
- [math(a>b>0)]: [math(2b)]
- [math(b>a>0)]: [math(2a)]
- 중심이 원점인 타원 [math(\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1})] 위의 점 [math(\boldsymbol{(x_{1},\,y_{1})})] 위를 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 )]
- 중심이 원점인 타원 [math(\boldsymbol{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1})]의 기울기 [math(\boldsymbol{m})]의 접선: [math(\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
2.1. 유도[편집]
먼저 타원의 중심이 원점이고 두 초점(foci)[1] 이 [math(x)]축 위에 있는, 가장 간단한 경우를 보자. 그림과 같이 두 초점이 [math(\mathrm{F}(c,\,0))], [math(\mathrm{F'}(-c,\,0))]이고, 꼭짓점(vertex[2] , co-vertex[3] )이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))], [math(\mathrm{B}(0,\,b))], [math(\mathrm{B'}(0,\,-b))]인 타원을 고려해보자. 타원의 정의에 따라 [math(\overline{\mathrm{F'P}}+\overline{\mathrm{FP}})]는 일정해야 하고, 타원 위의 점 [math(\mathrm{P})]가 [math(\mathrm{A})] 위에 있다면, 그 길이는 [math(2a)]이어야 하므로,
[math(\displaystyle \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a )]
이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} )]
이고, 양변을 제곱하여 정리하면,
[math(\displaystyle cx+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} )]
다시 양변을 제곱하여 정리하면,
[math(\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}))]
맨 처음 식에 점 [math(\mathrm{B})]를 대입하면,
[math(\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2} )]
이므로 이것을 이용하면, 아래의 타원 방정식이 나온다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
단, 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle 0<b<a )]
만약, 중심이 원점이며, 초점이 [math(y)]축에 있고, [math(\mathrm{F}(0,\,c))], [math(\mathrm{F'}(0,\,-c))]이며, 타원의 꼭짓점이 [math(\mathrm{A}(a,\,0))], [math(\mathrm{A'}(-a,\,0))], [math(\mathrm{B}(0,\,b))], [math(\mathrm{B'}(0,\,-b))]인 타원을 고려하면, 위와 같은 논법으로 타원의 방정식은 다음이 됨을 보일 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
단, 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle 0<a<b \qquad \qquad a^{2}=b^{2}-c^{2})]
두 경우 모두 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]에 있다면, [math(x)]축으로 [math(x_{0})]만큼, [math(y)]축으로 [math(y_{0})]만큼 평행이동하면 되므로, 방정식은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 )]
이 경우, 초점과 각 꼭짓점 또한 평행 이동하게 됨에 유의해야 한다. 이와 같은 방정식 형태를 표준형이라 한다.
2.2. 일반형[편집]
타원의 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.
[math(\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 )]
이때, [math(A \sim E)]는 상수이며, 이 일반형을 표준형으로 바꾸면 방정식이 나타내는 타원을 알 수 있다.
2.3. 긴 반지름과 짧은 반지름[편집]
타원의 중심과 두 초점을 지나는 유일한 선분을 장축 (major axis)이라고 한다. 그럴 때, 이 긴 지름으로부터 중심까지의 절반이 되는 선분을 긴 반지름(semi-major axis)이라고 한다. 간단하게 말하자면 타원의 중심에서 타원까지의 가장 먼 거리라고도 할 수 있다.[4] 긴 반지름과는 반대로, 짧은 반지름(semi-minor axis)은 타원의 중심에서 타원까지 이르는 가장 짧은 길이의 선분을 의미한다.[5] 아래의 그림을 참조하자.
2.4. 이심률[편집]
타원의 이심률(eccentricity)은 타원이 원에 비해 얼마나 찌그러졌는지를 수치화한 양으로 다음과 같이 정의되며, [math(k)]로 표기한다.
[math(\displaystyle k=\sqrt{1-\frac{r_{\text{min}}^{2}}{r_{\text{max}}^{2} }}=\frac{r_{\text{focus}} }{ r_{\text{max}} })]
이때, [math(r_{\text{min}})], [math(r_{\text{max}})]는 각각 타원의 짧은 반지름의 길이, 긴 반지름의 길이를, [math(r_{\text{focus}})]는 중심으로부터 한 초점까지의 거리를 의미한다. 즉 타원의 이심률은 타원의 긴 반지름의 길이와 중심으로 부터 한 초점까지의 거리의 비이다.
타원의 이심률은 0과 1 사이의 값이며, [math(k \to 0)]일 때 타원은 원에 가까워지며, [math(k \to 1)]일 때 타원은 포물선 둘을 이어 붙인 모습에 가까워진다.
2.5. 양함수 형태[편집]
위에서 유도한 타원의 방정식은 음함수 형태인데, 이를 양함수 형태로 바꾸면 다음과 같다.
[math(\displaystyle y=\pm \sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}(x-x_{0})^{2}}{a^{2} }}+y_{0} )]
즉, 한 타원은 한 양함수 식으로 표현하지 못하며, 다음과 같이 반반으로 나뉘어 표현된다.
타원은 그 개형상 하나의 [math(x)]값에 두 개의 [math(y)]값이 대응할 수 있기 때문에 양함수로 나타낼 수 없는 것이다.
2.6. 매개변수 방정식[편집]
위와 같이 원 [math(C_{1}\, : \, x^{2}+y^{2}=b^{2})]과 [math(C_{2}\, : \, x^{2}+y^{2}=a^{2})]을 고려하자.[6] 원점에서 그은 한 직선과 각 원이 만나는 점을 [math(\mathrm{Q,\,R})]라 하자. 이때, 점 [math(\mathrm{R})]에서 [math(x)]축에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하고, 점 [math(\mathrm{Q})]에서 선분 [math(\mathrm{RH})]에 내린 수선의 발을 [math(\mathrm{P})]라 하자. 이때, [math(\mathrm{\angle QOH \equiv \theta})]라 하면, 점 [math(\mathrm{P})]의 좌표는
[math(\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} )]
[6] [math(a>b>0)]인 경우를 다루고 있지만, 그 반대의 경우도 성립한다.
이때, 점 [math(\mathrm{P})]의 자취는 위 그림처럼 타원을 나타내는데,
[math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{x}{a} \qquad \qquad \sin{\theta}=\frac{y}{b} )]
이에 따라
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1 )]
로, 타원의 방정식이 된다. 따라서 타원의 [math(\mathrm{\angle QOH \equiv \theta})]에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle x=a\cos{\theta} \qquad \qquad y=b\sin{\theta} )]
각각의 좌표가 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환했을 때 각각의 좌표의 표현법과 유사하기 때문에 혼동하기 쉬우나 사용한 매개변수인 각이 극좌표계의 각(angle) 변수(즉, 위 그림에서 [math(\angle \rm POH)].)와 동일한 것이라 생각하면 안 된다. 극좌표계에서 각각의 변수를 어떻게 정의했는지 생각해보면 왜 그런지 알 수 있다. 그렇기 때문에 극좌표계에서 다시 직교 좌표계로 변환했을 땐 이 문단의 결과가 나오지 않으므로 반드시 주의하여야 한다.(바로 아래 문단 참조)
2.7. 중심이 원점에 있는 타원의 극 좌표계에서의 표현[편집]
타원
[math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 )]
을 극 좌표계에서 직교 좌표계로 변환한다면, [math((r,\,\theta) \to (x,\,y))]에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned} )]
로 나타낼 수 있을 것이다. 이때, 이 결과는 앞서 밝혔듯이 매개변수로 타원을 나타냈을 때와 계산 결과가 같지 않다. [math(r)]을 구하기 위해 타원의 정의식을 이용하자. 타원의 정의식에 각 좌표를 대입하면,
[math(\displaystyle \frac{r^2\cos^{2}{\theta}}{a^2}+\frac{r^2\sin^{2}{\theta}}{b^2}=1 )]
이것은 아래와 같이 두 가지 형태의 유용한 꼴로 고칠 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{a^2}{b^2} \right )\sin^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} \left[ 1-\left( 1-\frac{b^2}{a^2} \right )\cos^{2}{\theta} \right ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )]
타원의 이심률
[math(\displaystyle k=\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{a^2}{b^2}} \qquad &(0<a<b) \\ \\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}} \qquad &(0<b<a) \end{cases} )]
을 이용하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{r^{2}}{a^2} [ 1-k^{2}\sin^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<a<b) \\ \frac{r^{2}}{b^2} [ 1-k^{2}\cos^{2}{\theta} ]&=1 \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}\;r&=\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<a<b) \\ r&=\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \qquad &&(0<b<a) \end{aligned} )]
이상의 결과를 타원
[math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 )]
에 대하여 정리하면 아래와 같다(각각에서 [math(k)]는 타원의 이심률이다).
- [math(\boldsymbol{0
- 극좌표계에서의 표현
[math(\displaystyle (r,\,\theta)=\left( \frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }},\,\theta \right) )]
- 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환
[math(\displaystyle (x,\,y)=\left( \frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \cos{\theta},\,\frac{a}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }} \sin{\theta} \right) )] }}}
- [math(\boldsymbol{0
- 극좌표계에서의 표현
[math(\displaystyle (r,\,\theta)=\left( \frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }},\,\theta \right) )]
- 극좌표계에서 직교 좌표계로 변환
[math(\displaystyle (x,\,y)=\left( \frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \cos{\theta},\,\frac{b}{\sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta} }} \sin{\theta} \right) )]
2.8. 원의 선형 변환에서의 유도[편집]
사실상 타원은 원을 [math(x)]축과 [math(y)]축으로 일정 배만큼 늘린 것이라고도 볼 수 있다. 이를테면, 좌표평면상 중심이 원점이고, 반지름이 1인 원의 방정식은
[math(\displaystyle x^{2}+y^{2}=1 )]
이다. [math(x)]축 방향으로 [math(a(a \neq 0))]배, [math(y)]축 방향으로 [math(b(b \neq 0))]배한 선형 변환을 고려하면,
[math(\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &0 \\ 0& b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \,\to\,\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{x'}{a}\\ \\y=\dfrac{y'}{b} \end{matrix}\right. )]
이고, 이를 원의 방정식에 넣으면 곧 중심이 원점이고 꼭짓점이 [math((\pm a,\,0))], [math(( 0,\,\pm b))]인 타원의 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 )]
즉, 타원은 곧 원의 선형 변환이다.
3. 타원의 넓이와 둘레[편집]
3.1. 넓이[편집]
위에서 타원을 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식으로 다음과 같이 나타낼 수 있음을 논의했다.
[math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )]
따라서 타원의 넓이에 대한 면적소 [math(dA=y\,dx)]를
[math(\displaystyle \int y\,dx )]
로 나타낼 수 있다. 그런데 중심이 원점인 타원을 고려하고 있고, [math(x)]축을 기준으로 위 영역과 아래 영역은 서로 합동이므로 한 영역의 넓이만을 구한 뒤 두 배 처리하여 구할 수 있다. 이때,
[math(\displaystyle y\,dx=-ab \sin^{2}{\theta} \,d\theta)]
이고, [math(x)]축을 기준으로 위 영역만 고려한다면, 적분 영역은 [math(-a \leq x \leq a)]에서 [math(\pi \leq \theta \leq 0)]으로 바뀌므로 구하는 타원의 넓이는 다음과 같다.
[math(\displaystyle 2ab\int_{0}^{\pi} \sin^{2}{\theta} \, d\theta=ab \pi )]
3.2. 둘레[편집]
위에서 타원을 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식으로 다음과 같이 나타낼 수 있음을 논의했다.
[math(\displaystyle \left.\begin{matrix} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{matrix}\right\} \qquad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) )]
타원의 둘레는 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d \theta} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^{2} }\,d\theta )]
타원의 대칭성을 이용하면,
[math(\displaystyle 4 \int_{0} ^{\pi/2} \sqrt{ a^{2} \sin^{2}{\theta} +b^{2} \cos^{2}{\theta} }\,d\theta )]
로 구할 수 있고, 이것을 다시 쓰면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{cases} \displaystyle 4a\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\cos^{2}{\theta}}\,d\theta
[math(k)]는 이심률이다. 위의 적분은 초등함수로 표현할 수 없는데, 위와 같은 적분 형태를 제2종 타원 적분(elliptic integral)이라 한다. 기호로는 [math(E(k))]로 나타내어,
[math(\displaystyle E(k) \equiv \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,d \theta )]
로 쓰고, 이를 사용하면 타원의 둘레는
[math(\displaystyle 4r_{\text{max}} E(k) )]
로 쓸 수 있다.[7] [math(r_{\text{max}})]는 타원의 긴 반지름이다.
3.2.1. 타원 적분[편집]
자세한 내용은 타원 적분 문서를 참고하십시오.
4. 타원과 직선[편집]
4.1. 위치 관계[편집]
판별식의 부호에 따라 포물선과 직선의 위치 관계가 달라진다.
- [math(\boldsymbol{D>0})]: 타원과 직선은 두 점에서 만난다.
- [math(\boldsymbol{D=0})]: 타원과 직선은 접한다.(즉, 타원과 직선은 한 점에서 만난다.)
- [math(\boldsymbol{D<0})]: 타원과 직선은 만나지 않는다.
4.2. 타원의 접선[편집]
4.2.1. 타원 위의 점을 지나는 접선의 방정식[편집]
문제 상황을 쉽게 하기 위해 우선은 타원의 중심이 원점인 경우를 먼저 다루자. 타원 위의 접선의 기울기는 음함수의 미분법을 이용하여 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}} +\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx}=0 \, \to \, \frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y} )]
타원 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 고려하면, 이 점 위의 접선의 기울기는
[math(\displaystyle -\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}} )]
따라서 이 점을 지나는 접선의 방정식은
[math(\displaystyle y-y_{1}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1}) )]
이므로 이것을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}= \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} )]
이고, 우변은 타원 위의 점이므로
[math(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1)]
이다. 만약 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]이라면, 평행이동을 이용하면 되므로 평행이동을 한 뒤의 타원 위의 점 [math((x_{2},\,y_{2}))] 위의 접선의 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{(x-x_{0})(x_{2}-x_{0})}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})(y_{2}-y_{0})}{b^{2}}=1)]
4.2.2. 특정한 기울기의 접선의 방정식[편집]
구하는 접선을 [math(y=mx+n)] ([math(m,\, n)]은 상수)으로 놓자. 이것을 타원의 식에 대입하고 적절히 정리하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle (a^{2}m^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}mnx+a^{2}(n^{2}-b^{2})=0 )]
위 이차방정식이 중근을 가지면, 직선과 타원은 접한다. 즉, 판별식이 0이어야 하므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}})]
이상에서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle y=mx\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}})]
만약, 타원의 중심이 [math((x_{0},\,y_{0}))]이라면, 평행 이동을 이용해서
[math(\displaystyle y=m(x-x_{0})\pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}+y_{0})]
임을 쉽게 증명할 수 있다.
5. 기타 성질[편집]
5.1. 성질 1[편집]
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))]와 두 초점 [math(\rm F')], [math(\rm F)]가 있고, 임의의 외부의 점 [math(\rm A)]와 임의의 내부의 점 [math(\rm B)]를 고려하자. 이때, [math(\overline{\rm F'B})]의 연장선상 혹은 [math(\overline{\rm F'A})]에는 타원 위의 점 [math(\rm P)]가 있다. 단, 그림에서는 두 경우에 대하여 [math(\rm P)]가 같은 것으로 묘사돼 있지만 일반적으로는 다르다.
[1] [math(\overline{\rm \bf F'A}+\overline{\rm \bf FA})]
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF} )]
로 쓸 수 있다. 한편, 삼각형 [math(\rm PFA)]에서 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이보다 작아야 하므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm FP}<\overline{\rm PA}+\overline{\rm FA} )]
그런데 [math(\overline{\rm F'P}+\overline{\rm PA}+\overline{\rm AF}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP})]이고, 이에 따라
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=2a)]
한편, 타원의 정의에 따라 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합은 [math(2a)]로 일정하다. 따라서 이 결과는 다음으로 요약할 수 있다.
[2] [math(\overline{\rm \bf F'B}+\overline{\rm \bf FB})]
[math(\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}=\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF} )]
로 쓸 수 있다. 한편, 삼각형 [math(\rm PFB)]에서 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이보다 작아야 하므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm BF}<\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} )]
그런데
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm BF}&<\overline{\rm F'P}-\overline{\rm PB}+\overline{\rm PB}+\overline{\rm FP} \\ &=\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} \end{aligned} )]
이에따라
[math(\displaystyle\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA}<\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP}=2a)]
한편, 타원의 정의에 따라 타원의 두 초점과 타원 위의 임의의 점까지의 각각의 거리의 합은 [math(2a)]로 일정하다. 따라서 이 결과는 다음으로 요약할 수 있다.
이 문단에서는 특정한 타원의 경우에만 증명했지만 일반적인 타원에서도 성립한다. 위 결과를 요약하면 식으로
[math(\displaystyle \overline{\rm F'B}+\overline{\rm FB}<2r_{\text{max}}<\overline{\rm F'A}+\overline{\rm FA} )]
로 쓸 수 있다. [math(r_{\text{max}})]는 타원의 긴반지름이다.
5.2. 성질 2[편집]
파일:나무_타원_성질_2_NEW_NEW.png
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0))]와 두 초점 [math(\rm F')], [math(\rm F)]가 있고, 해당 타원의 한 접선 [math(l)]이 있다고 하자. 이때, [math(\rm F')], [math(\rm F)]에서 [math(l)]에 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)]라 할 때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=b^{2})]
우선 접선 [math(l)]의 방정식은 기울기 [math(m)]일 때, [math(y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, [math(\overline{\rm F'A})], [math(\overline{\rm FB})]는 각각 [math(\rm F')], [math(\rm F)]에서 [math(l)]까지의 거리와 같다. 이에 [math({\rm F'}(-\sqrt{a^2-b^2},\,0))], [math({\rm F}(\sqrt{a^2-b^2},\,0))]이므로 직선 문서에서 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 참조하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm F'A}&=\frac{| -m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \overline{\rm FB}&=\frac{| m\sqrt{a^2-b^2} \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} |}{\sqrt{m^2+1}} \\ \\ \therefore \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}&=\frac{| a^2 m^2+b^2-m^2(a^2-b^2) |}{m^2+1} \\&=\frac{|b^2||m^2+1|}{m^2+1}=b^2 \end{aligned})]
이 문단은 특정한 타원에 대해서 증명을 했지만 일반적으로
[math(\displaystyle \overline{\rm F'A} \cdot \overline{\rm FB}=r_{\min}^{2})]
이 성립한다. 여기서 [math(r_{\min})]은 타원의 짧은 반지름이다.
5.2.1. 부가 성질[편집]
위에서 증명한 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]는 위의 그림과 같이 한 원 [math(x^2+y^2=a^2)] 위에 있는데 더 일반적으로 말하면, 아래와 같이 정리된다.
이것을 증명하기 위해 한 초점에서 내린 수선의 발을 [math({\rm C}(X,\,Y))]라 하자. 우선 점 [math({\rm C}(X,\,Y))]는 타원의 한 접선 [math(y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})] 위의 점이므로
[math(\displaystyle Y=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \quad \to \quad Y-mX= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
이고, 양변을 제곱하면,
[math(\displaystyle Y^{2}-2mXY+m^2 X^2=a^2 m^2+b^2)]
한편, 직선 [math(\rm FH)] (혹은 [math(\rm F'H)])의 직선의 방정식은 접선과 수직이므로 기울기는 [math(-m^{-1})]이고, [math(x)]절편의 절댓값은 타원의 초점 길이와 같으므로
[math(\displaystyle y=-\frac{x}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} )]
[math({\rm C}(X,\,Y))]는 이 직선 위의 점이기도 하므로
[math(\displaystyle Y=-\frac{X}{m} \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{m} \quad \to \quad mY+X= \pm \sqrt{ a^2 -m^2 } )]
이고, 양변을 제곱하면,
[math(\displaystyle m^2 Y^2+2mXY+X^2=a^2 - b^2 )]
위의 두 과정에서 나온 결과를 더하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} (m^2+1) Y^2+(m^2+1)X^2&=(m^2+1)a^2 \\ X^2+Y^2&=a^2 \end{aligned} )]
이때, [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름이 타원의 장축의 길이인 [math(2a)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.
5.3. 성질 3[편집]
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]에 외부의 점 [math(\rm P)]로부터 접선을 그었을 때, 두 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 점 [math(\rm P)]에서 직교한다면, 점 [math(\rm P)]의 자취는 원 [math(x^2+y^2=a^2+b^2)]이다. 더욱 일반적으로 말하면 아래와 같이 정리할 수 있다.
이것의 증명은 우선 접선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방정식을 결정하는 것부터 시작된다. [math(l_{1})]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면,
[math(\displaystyle l_{1}:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} )]
그런데 [math(l_{1})], [math(l_{2})]는 직교하므로 [math(l_{2})]의 기울기는 [math(-m^{-1})]이다. 즉,
[math(\displaystyle l_{2}:\, y=-\frac{x}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} )]
으로 쓸 수 있다. 한편, [math({\rm P}(X,\,Y))]라 놓으면 각각은 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y&=mX \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,Y&=-\frac{X}{m} \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2}+b^2} \end{aligned} )]
이때 식을 변형하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y-mX&= \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ l_{2}:\,mY+X&= \pm \sqrt{a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )]
으로 쓸 수 있고, 각각의 양변을 제곱하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} l_{1}:\,Y^2-2mXY+m^2X^2&= a^2 m^2+b^2 \\ l_{2}:\,m^2 Y^2+2mXY+X^2&= {a^2+b^2 m^2} \end{aligned} )]
각각을 더하고 정리함으로써
[math(\displaystyle \begin{aligned}
X^2+Y^2&=a^2+b^2 \end{aligned} )]
이 나오게 된다. [math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 제곱이 [math(a^2+b^2)]인 원이므로 맨 위의 결과가 나오게 된다.
5.4. 성질 4[편집]
위 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하고, 타원 위의 한 점 [math(\rm P)]를 지나는 접선 [math(l)]과 원점을 통과하며, [math(l)]과 평행한 직선과 타원과의 두 교점을 각각 [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 하자. 이때, [math(\triangle \rm PAB)]는 일정하다.
이것의 증명은 [math(l)]의 기울기를 [math(m)]이라 놓으면, [math(l:\, y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2})]이고, 직선 [math(\rm AB)]의 방정식은 [math(y=mx)]로 놓을 수 있다. 해당 직선과 타원의 방정식을 연립하면
[math(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{m^2 x^2}{b^2}=1 \quad \to \quad \frac{m^2 a^2+b^2}{a^2 b^2}x^2-1=0 )]
따라서 이 방정식의 해는 [math(x_{1})] 혹은 [math(x_{2})]인데 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 [math(x_{1}+x_{2}=0)], 두 근의 곱은
[math(\displaystyle x_{1}x_{2}=-\frac{a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )]
이므로 [math((x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2})]에서
[math(\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{4a^2 b^2}{m^2 a^2+b^2} )]
이다. 이때, [math(y_{1}=mx_{1})], [math(y_{2}=mx_{2})]에서
[math(\displaystyle (y_{1}-y_{2})^{2}=m^2(x_{1}-x_{2})^2 )]
따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}\overline{\rm AB}&=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} \\&=\frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \end{aligned} )]
을 얻을 수 있고, 삼각형 [math(\rm PAB)]의 높이는 원점에서 접선 [math(l)]까지의 거리이므로 다음과 같이 일정하다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \end{aligned} )]
따라서 아래의 결과를 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}\triangle \rm PAB &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2a b\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{m^2 a^2+b^2}} \cdot \frac{\sqrt{m^2 a^2+b^2}}{\sqrt{1+m^2}} \\&=ab \end{aligned} )]
이 문단에서는 특정한 타원을 예로 들었지만 이는 일반적인 타원에서 성립한다.
복잡하게 계산했지만 타원이 원의 선형변환인 것을 생각한다면 매우 당연한 성질이다.
5.4.1. 부가 성질[편집]
타원이 하나 주어져 있고, 두 초점 [math(\rm F)], [math(\rm F')]과 타원 위의 임의의 점 [math(\rm P)]에 대하여 삼각형 [math(\rm PF'F)]가 직각삼각형이라면 그 넓이는 짧은 반지름의 제곱의 값으로 일정하다.
이것의 예로 그림과 같이 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2 \,\,(a>b>0))]을 고려하여 증명하여 보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm FF'}&=2c \\ \overline{\rm FP}&=t \\ \overline{\rm F'P}&=s \end{aligned} )]
라 놓으면 타원의 성질에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} t+s=2a \end{aligned} )]
삼각형 [math(\rm PF'F)]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여
[math(t^2+s^2=4c^2)]
이에
[math(\displaystyle \begin{aligned} 2ts&=(t+s)^2-(t^2+s^2) \\ &=4(a^2-c^2) \\ &=4b^2 \end{aligned} )]
한편 다음과 같이 일정하다.
[math(\displaystyle\triangle{\rm PF'F}=\frac{1}{2}ts=b^2)]
5.5. 성질 5: 타원의 광학적 성질[편집]
광학에서 빛은 반사한 표면에 대하여 입사각과 반사각이 같게 반사된다. 이러한 광학적 성질이 타원에선 어떻게 적용되는지 알아보자.
위 그림과 같이 초점이 각각 [math(\rm F)], [math(\rm F')]인 타원 위의 임의의 점 [math(\rm P)]에서의 접선 [math(l)]을 고려해보자. 만약 광선을 [math(\rm F \to \rm P)]로 방사하여 [math(\rm F')]에 도달했다고 하자. 이때, 빛이 이 경로로 따름을 증명하려면 [math(\angle \rm FPT=\angle \rm F'PQ)]임을 증명하면 된다.[8]
점 [math(\rm P)]가 아닌 접선 위의 임의의 점 [math(\rm Q)]를 고려해보자. [math(\rm Q)]가 [math(\rm P)]가 아니기 때문에 [math(\rm Q)]는 항상 타원의 외부에 위치한다. 따라서 성질 1에서 증명했던 바와 같이 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm F'Q}+\overline{\rm FQ}>\overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )]
[8] 다만 해당 각들이 각각 입사각, 반사각은 아님에 주의하여야 한다. 입사각과 반사각은 접선과 수직이면서 접점과 수직인 직선과 광선과의 각도를 측정함으로써 결정할 수 있다.
따라서 접선 위의 임의의 점 [math(\rm R)]을 고려하면
[math(\displaystyle \overline{\rm F'R}+\overline{\rm FR} \geq \overline{\rm F'P}+\overline{\rm FP} )]
를 만족시킨다. 따라서 이 조건을 만족시켜려면, 점 [math(\rm F)]를 [math(l)]에 대해 대칭시킨 점 [math(\rm G)]와 [math(\rm P)], [math(\rm F')]은 한 직선 상에 있어야 한다.
한편, 삼각형 [math(\rm GPF)]는 [math(\overline{\rm PG}=\overline{\rm PF})]인 이등변삼각형이고, 점 [math(\rm T)]는 [math(\overline{\rm GF})]의 수직이등분점이므로
[math(\displaystyle \angle{\rm GPT}=\angle{\rm FPT} )]
이고, 맞꼭지각으로
[math(\displaystyle \angle \rm FPT=\angle \rm F'PQ)]
가 성립한다. 따라서 광선은 [math(\rm F \to \rm P \to \rm F')]에 도달한다. 이 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.
타원 당구대와 같이, 기구 제작에 이러한 성질을 이용하고 있다.
5.6. 성질 6[편집]
파일:나무_타원_중심.png
위 그림과 같이 중심이 [math(\rm O)]인 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\, (a>b>0))] 위의 두 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]를 지나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 평행한 [math(l)]들에 대하여 그 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점의 자취는 타원의 원점을 지나는 직선 위에 위치하게 된다. 더욱 일반적으로 아래와 같이 정리할 수 있다.
이것의 증명은 [math(l:\, px+q)]이라 놓는 것부터 시작된다. [math({\rm A}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm B}(x_{2},\,y_{2}))]라 두자. 이때, 직선 [math(l)]과 타원의 방정식을 연립함으로써 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{x^2}{a^2}+\frac{(px+q)^2}{b^2}&=1 \\ b^2 x^2+a^2 (px+q)^2-a^ 2b^2 &=0 \\ (a^2 p^2 +b^2)x^2+2a^2 pqx+a^2 q^2+a^2 b^2&=0 \end{aligned} )]
이것의 해는 [math(x_{1})]과 [math(x_{2})] 중 하나이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{1}+x_{2}=-\frac{2a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )]
만약 [math({\rm M}(X,\,Y))]라 놓으면
[math(\displaystyle \begin{aligned} X&=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\&=-\frac{a^2 pq}{a^2 p^2 +b^2} \\ Y&=p \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)+q \\&=-\frac{a^2 p^2 q}{a^2 p^2 +b^2}+q \\&=\frac{-a^2 p^2 q+q(a^2 p^2 +b^2)}{a^2 p^2 +b^2} \\&=\frac{qb^2}{a^2 p^2 +b^2} \end{aligned} )]
위 결과를 사용하면 [math(X)]와 [math(Y)]의 관계식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle Y=-\frac{b^2}{a^2 p}X)]
[math((X,\,Y))]가 기술하는 도형은 원점(타원의 중심)을 지나는 직선이므로 해당 내용이 증명되었다.
위의 성질들을 이용하여 임의의 타원의 중심을 쉽게 찾을 수 있다. 다음의 단계를 따른다.
- 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(a)], [math(b)]를 그린다.
- 직선 [math(a)]와 타원의 교점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]의 중점 [math(\rm M)]을 찾는다.
- 직선 [math(b)]와 타원의 교점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]의 중점 [math(\rm N)]을 찾는다.
- 직선 [math(\rm MN)]을 그린다.
- 타원에 두 점을 지나는 각각의 두 평행한 직선 [math(c)], [math(d)]를 그린다. 단, 1에서 그린 직선의 기울기와는 다른 직선을 사용한다.
- 직선 [math(c)]와 타원의 교점 [math(\rm D)], [math(\rm E)]의 중점 [math(\rm P)]을 찾는다.
- 직선 [math(d)]와 타원의 교점 [math(\rm F)], [math(\rm G)]의 중점 [math(\rm Q)]를 찾는다.
- 직선 [math(\rm PQ)]를 그린다.
- 두 직선 [math(\rm MN)], [math(\rm PQ)]의 교점 [math(\rm O)]가 타원의 중심이 된다.
5.7. 성질 7[편집]
타원의 중심, 단축, 장축으로 초점을 찾아 보자. 타원의 중심에 타원의 긴 반지름을 반지름으로 하는 원을 그린 후 그 원의 중심을 짧은 지름상의 꼭짓점으로 옮기면 장축과 해당 원이 만나는 두 교점이 타원의 초점이 된다.
계산의 단순화를 위해 타원 [math(x^2/a^2+y^2/b^2=1 \,\,(a>b>0))]로 계산해 보자.
위 그림과 같이 짧은 지름상에 있는 한 꼭짓점 [math(\rm P)]에 대해 타원의 성질에 의하여
[math(\displaystyle \overline{\rm F'P}+\overline{\rm PF}=2a )]
이고, 두 삼각형 [math(\rm POF)], [math(\rm POF')]에서 [math(\overline{\rm OP})]는 공통, [math(\rm O)]는 타원의 중심이므로 [math(\overline{\rm OF'}=\overline{\rm OF})]이고, [math(\angle{\rm POF}=\angle{\rm POF'})]이므로 두 삼각형은 합동이므로 [math(\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF} )]이다. 따라서
[math(\displaystyle \overline{\rm F'P}=\overline{\rm PF}=a )]
임을 얻는다. 따라서 두 초점은 중심이 [math(\rm P)]이고, 반지름이 [math(a)]인 원 위에 있다. 또, 타원의 초점은 장축 위에 있으므로 곧 해당 원과 장축의 교점이 두 초점이 된다.
6. 중심력장과 타원[편집]
중력장, 전자기장 등의 역제곱법칙을 만족하는 중심력장 하에서 중심력장에 속박된 물체는 외부의 힘을 받지 않을 경우 타원 운동을 한다. 행성과 항성들은 이러한 타원 궤도 위에서 케플러 법칙을 따라가며 움직인다.
7. 어원[편집]
- 한자어
본래는 橢圓(타원)[9] 이며 楕(타)는 橢(타)의 약자이다. 楕(타)와 橢(타)에는 '둥글 길쭉하다'라는 의미가 있다. 타원이라는 용어는 자코모 로(Giacomo Rho, 나아각羅雅各, 1598~1638)의 「측량전의測量全義」(1631년)에 처음 등장한다.#
- 영문
8. 관련 문서[편집]
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