콕서터 군

1. 개요[편집]

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Coxeter 群 / Coxeter group

어떤 군 [math(G)]이 다음을 만족할 때, 그 군을 콕서터 군이라고 한다.

[math(\displaystyle G=\left<r_1,r_2,\cdots,r_n|\left(r_ir_j\right)^{m_{ij}}=e\right>)]

• [math(e)]는 군 [math(G)]의 항등원이다.
• [math(\displaystyle m_{ij} = \begin{cases} 1 & \left(\text{if } i = j\right) \\ 2 \le m_{ij}\le \infty & \left(\text{if } i \ne j\right) \end{cases})]

이 때, [math(m_{ij})]를 i행 j열의 원소로 갖는 행렬을 콕서터 행렬이라고 부른다.

2. 설명[편집]

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예를 들어, 어떤 군 [math(G)]의 원소 중, 특수한 원소 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있다고 하자. 이 때, 군 [math(G)]의 모든 원소는 [math(a)]와 [math(b)] [math(c)]의 조합으로 나타낼 수 있다.

단, [math(aa = bb = cc = e)]와 같이 이 특수한 원소들을 제곱하면 항상 항등원이 된다.

또한,

[math(\displaystyle \begin{cases} \left(ab\right)^5 = ababababab = e \\ \left(bc\right)^3 = bcbcbc = e \\ \left(ca\right)^2 = caca = e \end{cases})]

와 같이 [math(ab)], [math(bc)], [math(ca)]가 순환군을 이룰 때, 이 군은 콕서터 군이 된다.