정렬 원리

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1. 개요
2. 증명
3. 기타
4. 관련 문서


1. 개요[편집]

Well-ordering Principle
정수론 자연수의 공집합이 아닌 임의의 부분집합 [math(X\subseteq \mathbb N)]의 최소원 [math(\min X)]가 존재한다는 원리이다. 초등정수론에서, 여러 증명의 기초적인 도구로 사용되므로 정수론을 공부한다면 정렬 원리를 잘 알아두는 것이 중요하다.

2. 증명[편집]

강한 수학적 귀납법을 이용해서 증명해보자.
집합 [math(S\subseteq \mathbb N)]이 최소원을 갖지 않는다고 하자.
1. [math(1\notin S)]의 증명
귀류법을 이용하면 간단하다. [math(1\in S)]이면 [math(\forall x\in \mathbb N, x\ge 1)]에서 [math(\forall x\in S, x\ge 1)]이므로 [math(S)]는 최소원소를 가지므로 모순이 된다. 따라서, [math(1\notin S)]여야 한다.
2. [math(\forall x<k)]에 대해서 [math(k\ne S)]일 때 [math(k+1\notin S)]의 증명
역시 귀류법을 이용하면 간단하다. [math(k+1\in S)]일 때 [math(\{n\in\mathbb N|n < k+1\} \cap S =\emptyset)]이므로 [math(\forall x\in S, x\ge k+1)]이 되어 [math(k+1)]이 최소원이 되어야 하므로 모순이다. 따라서, [math(k+1\notin S)]
따라서, 강한 수학적 귀납법에 의해 [math(\forall x\in\mathbb N, x\notin S)]로 [math(S=\emptyset)], 최소원이 없는 자연수의 부분집합은 공집합 뿐이다.[math(\blacksquare)]


3. 기타[편집]

정수론에서 가장 기초적인 정리 중 하나인 베주 항등식[1]을 증명하는 가장 간단한 방법이 정렬 원리이다.

4. 관련 문서[편집]



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[1] 주로 베주 항등식 [math(\Rightarrow)] 유클리드 보조 정리 [math(\Rightarrow)] 산술의 기본정리 순서로 정리를 증명해나간다.

관련 문서