2의 거듭제곱
덤프버전 :
1. 개요[편집]
2의 거듭제곱수를 나열한 문서이다. 거듭제곱 특성 상 초반에는 작지만 조금만 커져도 매우 커지므로 기하급수적으로 증가하기에 210만 되어도 1,000을 넘는다. 편의상 2100까지만 서술한다.
2의 거듭제곱이 가장 기본적인 지수형태이자 대표적인 기하급수의 예시이다. n의 값이 작을 때에는 1씩 올려봐야 그리 많이 커지진 않겠지만 10 정도만 넘어도 엄청 커진다. 그런데 이 n의 값이 100 정도 되어버리면 그 값은 우주와 관련된 수에 버금가거나 경우의 수가 아닌 이상 오히려 아득히 초월해버릴 정도로 커진다. 그 이후에도 계속 2배씩 올라가니 (n2)×100이든 n999999999999999든 2n 꼴에서 n의 값이 충분히 커질 수만 있다면 초월해버릴 수 있다.
2. 목록[편집]
3. 성질[편집]
3.1. 2의 거듭제곱의 부분합[편집]
[math(b_n=2^n)]인 수열 [math(\{b_n\})]의 [math(b_0)]부터 처음 [math(n)]개 숫자의 부분합 [math(\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}b_k)]은 항상 [math(b_n-1)]이 된다. 예를 들어 첫 4개의 숫자들의 합인 [math(1+2+4+8=15=16-1=2^4-1)]이다.
증명은 다음과 같다. 초항이 [math(a)]이고 공비가 [math(r)]인 등비수열 부분합은 [math(\dfrac{a(r^n-1)}{r-1})]이므로 각각 [math(1)]과 [math(2)]를 대입하면
[math(\dfrac{1(2^n-1)}{2-1}=\dfrac{2^n-1}1=2^n-1=b_n-1)]
[1] 0 또는 1이니까 두 개 아니냐고 생각할 수도 있지만, 한 비트가 특정 상태에서 가질 수 있는 값은 0 아니면 1이니까 단 하나뿐이다. 한 비트가 동시에 여러 상태를 가지면 그건 큐비트가 되어버린다. 따라서 후술할 단위들에서 나오는 정보량은 곧 비트의 개수와 일치한다. 예를 들어 1Kibit는 1024bits이고 아스키 문자 128글자정도 담을 수 있는 정보량을 가진다. 해당 비트수로 표현 가능한 가장 큰 정수는 '~로 표현 가능한 상한값'으로 표시한다.[2] 임의의 자연수에 대해 항상 4로 고정된다.[3] 4비트. 주로 16진법의 한 자릿수를 말하기 위해 쓰인다.[4] 왜 256개가 아니냐면, 역사적으로 한 바이트의 첫 비트는 검증용 비트로 따로 사용하느라 남는 공간이 7비트밖에 없었기 때문이다.[5] 클래스 A네트워크 주소는 2진법 기준
010110usize64_t분모를 보면 이 성질이 2의 거듭제곱에서만 성립함을 알 수 있다. 여러모로 유용한 성질인데, 2진법의 나눗셈 계산 등은 다른 진법과 다르게 간단하게 끝낼 수 있다.
3.2. 2의 거듭제곱을 모두 더하면?[편집]
[math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 2^n = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots = \frac{1}{1-2} = -1)]
부분합이 아니라 아예 전부 더하면 어떻게 될까? 스리니바사 라마누잔은 2의 거듭제곱의 무한합을 위와 같이 계산했다. 원래는 저 무한합은 양의 무한대로 발산하지만, 복소수 위에서 해석적 접근을 하면[12] 저렇게 된다.
자세한 내용은 라마누잔합 문서를 참고하십시오. 3.3. 완전수와의 관계[편집]
[math(2^n-1)]이 소수일 때, 여기에 [math(2^{n-1})]를 곱하면 완전수가 된다. 이 때, 소수인 [math(2^n-1)]을 메르센 소수라고 한다.
증명은 다음과 같다. [math(2^n-1)]이 메르센 소수일 때, [math(2^{n-1}(2^n-1))]의 모든 약수들의 집합 [math(D_2)]는 [math(2^{n-1})]의 모든 약수들의 집합 [math(D_1=\{2^{k-1}\,|\,k\in\mathbb N\land k\leq n\})] 에 대해, [math(D_2=\{d(2^n-1)\,|\,d\in D_1\}\cup D_1)] 이다. 또한 항상 [math(2^n-1\gt2^{n-1})] 이므로 [math(\{d(2^n-1)\,|\,d\in D_1\}\cap D_1=\varnothing)] 임이 자명하다.
이제 위에서 언급한 2의 거듭제곱의 부분합 공식을 사용해 보자. 먼저 [math(D_1)]의 합은 다음과 같다.
[math(\displaystyle\sigma_1(2^{n-1})=\sum^n_{k=1}2^{k-1}=\sum^{n-1}_{k=0}2^k=2^n-1)]
이어서 [math(D_2)]의 합을 구해보자.
[math(\displaystyle\sigma_1\left(2^{n-1}(2^n-1)\right)=(2^n-1)\sigma_1(2^{n-1})+\sigma_1(2^{n-1})=2^n\sigma_1(2^{n-1})=2^n(2^n-1))]
이제 이걸 2로 나누어 보자.
[math(\dfrac{2^n(2^n-1)}2=\dfrac{2^n}2(2^n-1)=2^{n-1}(2^n-1))]
약수를 모두 더한 후 2로 나누었더니 자기 자신이 되었다. 따라서 [math(2^{n-1}(2^n-1))]은 완전수이다.
4. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-10-18 12:19:10에 나무위키 2의 거듭제곱 문서에서 가져왔습니다.