333333331



1. 개요[편집]

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333333331은 333333330보다 크고 333333332보다 작은 자연수이다. 3이 8개 계속되고 하나의 1로 끝난다.

2. 특징[편집]

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333333331은 17×19607843으로 소인수분해된다. 따라서 333333331의 진약수의 합은 1+17+19607843=19607861<333333331이므로 333333331은 부족수이다.

3이 [math(n)]번 반복된 후 1이 붙는 수는 [math(\alpha_{n}=1+3\cdot10\cdot\frac{10^{n}-1}{9})]로 나타낼 수 있다. 이 수열은 [math(n=1,\cdots,7)]일 때는 소수지만 [math(n=8)]일 때에는 333333331=17×19607843으로 합성수가 된다.

한때 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331이 모두 소수임이 검증된 후, 3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 자연수가 모두 소수일 것[1]이라는 추론이 나오기도 했다.[2] 숫자가 커지면 소수라는 걸 손으로 확인하는 것이 오래 걸릴 수 있지만 333333331이 위와 같이 매우 작은 소수인 17로 나누어 떨어지는 것이 밝혀지면서 상황은 간단하게 종료되었다.

일반적으로 [math(b)]진법에서 0이 아닌 [math(d)]자리수 [math(x)]가 [math(n)]번 반복된 후 0이 아닌 [math(e)]자리수 [math(y)]가 붙는 수는 [math(\alpha_{n}=y+x b^{e}\frac{b^{nd}-1}{b^{d}-1})]으로 나타낼 수 있다. [math(p)]가 [math(x)], [math(y)], [math(b)], [math(b^{d}-1)], [math(y(b^{d}-1)-xb^{e})]의 약수가 아니고(서로소이고), [math(b^{d})]를 원시근으로 하는 소수라고 가정하자. [math(\alpha_{n}=y+x b^{e}\frac{b^{nd}-1}{b^{d}-1}=0~(\mathrm{mod}~p))]는 [math((b^{d})^{n}=1-y(xb^{e})^{-1}(b^{d}-1)~(\mathrm{mod}~p))]으로 나타낼 수 있으므로, 무한히 많은(법 [math(\phi(p)=p-1)]로 같은) [math(n)]에 대해 [math(\alpha_{n})]은 [math(p)]의 배수가 된다.

예를 들어, 333333331은 17이 1, 3, 10, 9, 9-30=-21의 약수가 아니고 10을 원시근으로 하므로, [math(10^{n}=1-9\cdot30^{-1}=16~(\mathrm{mod}~17))]에 의해 [math(n=16k+8)]([math(k)]는 음이 아닌 정수)일 때 [math(x_{n})]이 17의 배수가 된다는 사실에서 합성수임을 증명할 수 있다. 더불어 [math(x_{24}=3333333333333333333333331=17×821593951×238656128290493)] 역시 17의 배수일 것이란 것도 직접 계산하지 않고 알 수 있다.

3. 다른 진법[편집]

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10진법이 아닌 다른 진법에서도 한 숫자 y 앞에 y가 아닌 똑같은 숫자 x를 연달아 계속 붙여나가면서 일의 자리가 y이고, 나머지 자리(오른쪽에서 2번째 이후의 자리)는 모두 x로 되어있는 형태의 수 [3]로 소수를 최대한 길게 만들 수 있는지 알아볼 수 있는데 본 문서처럼 8번째가 되었을 때 처음으로 합성수가 나오는 사례는 드물다. 1000진법 이하에서 8번째 혹은 그 이후에서 처음으로 합성수가 나오는 경우는 아래와 같은데, 1000개 진법의 333,833,500가지 경우의 수 중에선 33가지의 경우만이 7번째까지 소수가 나오고 단지 하나의 경우만이 무려 8번째까지 소수가 이어진다.