오일러-매클로린 공식

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Analysis · Calculus


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1. 개요
2. 주기화된 베르누이 다항식
3. 증명
3.1. 다른 형태들
4. 사용


1. 개요[편집]

오일러-매클로린 공식(Euler-Maclaurin formula, 간단히 EMF)은 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린이 1700년대에 각각 발견한 공식으로, 유한합과 적분 사이의 관계를 나타내는 식이다. 이를 통해 유한합을 적분으로 근사하거나 반대로 적분을 유한합으로 근사할 수 있다.
\end{aligned} )]
여기서 [math(m)], [math(n)]은 [math(m<n)]인 정수이고 [math(p)]는 [math(p\in\Z^{0+})]이다.[1] [math(p=0)]일 경우 시그마는 공합(empty sum) 상태가 되고, 공합을 0으로 정의하는 관례에 따라 여기서도 [math(p=0)]일 때 시그마의 값을 0으로 정의한다. 그리고 함수 [math(f(x))]는 [math(f(x) \in C^p([m,n]))]이고[2] [math(f^{(r)}(x))]는 함수 [math(f(x))]의 [math(r)]계도함수를 의미하며, [math(B_r)]은 베르누이 수, [math(B_p(x))]는 베르누이 다항식이다. [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다. 오일러-매클로린 공식은 필요에 따라 조금씩 형태가 다른 식들도 쓴다. 다른 형태들 문단 참고.

본 문서에서는 베르누이 수와 베르누이 다항식의 여러 성질들이 빈번히 사용되므로, 각 문서들의 내용을 숙지하고 있는 상태에서 아래의 내용들을 보는 것이 좋다.


2. 주기화된 베르누이 다항식[편집]

주기화된 베르누이 다항식 [math(b_n(x))]를 다음과 같이 정의하자.
)]
여기서 [math(\lfloor x \rfloor)]는 최대 정수 함수이다. 그러면 임의의 정수 [math(k)]에 대해 다음이 성립한다.
)]
한편, [math(B_0(x)=1)]이므로 다음이 성립한다.
)]
이제 [math(b_n(x))]를 적분해보자. 임의의 정수 [math(k)]에 대해 구간 [math([k,k+1))]에서 [math(b_n(x))]를 적분하면 아래와 같다.
\end{aligned} )]
본 문서에서는 이를 편의상 다음과 같이 표기하자.
\end{aligned} )]
즉, 아래의 첫째 줄처럼 계산해야 한다. 둘째 줄처럼 계산하면 틀린 계산이다.
\end{aligned} )]


3. 증명[편집]

[math(b_0(x) = 1)]이므로, [math(m \le k < n)]인 정수 [math(k)]에 대해 [math(f(x))]를 다음과 같이 적분할 수 있다.
\end{aligned} )]
한편, [math(r=1)]인 경우 시그마 안의 항을 다음과 같이 정리할 수 있고
\end{aligned} )]
[math(r\ge2)]의 짝수인 경우, [math(b_r(k+1) = B_r(1) = B^+_r = B_r)]이고 [math(b_r(k) = B_r(0) = B_r)]이므로 다음과 같다.
\end{aligned} )]
[math(r\ge2)]의 홀수인 경우, [math(b_r(k+1) = b_r(k) = B_r = 0)]이어서 아래와 같이 항이 지워지므로 홀수인 항은 신경쓸 필요가 없다.
\end{aligned} )]
따라서 위 세 경우를 모두 종합하면 아래와 같이 정리된다.
\end{aligned} )]
위 식을 [math(k=m)]부터 [math(k=n-1)]까지 합하자.
\end{aligned} )]
[math(f(k))]에 대한 합만 남기고 나머지 항을 다 넘기면
\end{aligned} )]
양 변에서 [math(f(n))]을 빼면
\end{aligned} )]
[math(B_1 = -\dfrac12)]이므로 다음과 같이 분수 항을 시그마 안으로 넣을 수 있다.
\end{aligned} )]


3.1. 다른 형태들[편집]

앞서 증명한 형태는 다음과 같다. 본 문단에서는 편의를 위해 이를 형태1로 부를 것이다.
\end{aligned} )]
아래에서 소개하는 형태들은 모두 똑같은 이름으로 불리고 있지만, 일부가 미묘하게 다른 식들이다. 물론 모두 같은 의미를 지니고 있다. 모두 현장에서 각각의 필요에 맞게 약간의 변형을 가한 식들이다.

위의 형태1에서 [math(r=1)]인 부분을 시그마 밖으로 빼내자. [math(B_1=-\dfrac12)]임을 이용하면 다음과 같다.
\end{aligned} )]
양 변에 [math(f(n))]을 더하면 아래와 같은 형태2가 얻어진다.
\end{aligned} )]
형태2의 양 변에서 [math(f(m))]을 빼면 다음과 같다.
\end{aligned} )]
[math(B^+_1=\dfrac12)]이고 [math(r\ge2)]인 모든 [math(r)]에 대해 [math(B^+_r=B_r)]임을 이용하면 아래와 같은 형태3을 얻을 수 있다.
\end{aligned} )]

형태2에서 [math(r)]이 [math(r\ge2)]인 홀수인 경우 [math(B_r=0)]이므로 급수에 아무런 영향을 미치지 않는다. 따라서 시그마에서 [math(r)]이 짝수인 경우에 대한 항만 더해도 충분하다. 그러면 아래와 같이 형태4를 얻을 수 있다.
\end{aligned} )]
[math(p=2q)]로 치환하자.
\end{aligned} )]
부분적분을 한번 더 수행하면 다음과 같다.
\end{aligned} )]
[math(B_{2q+1}=0)]이므로 부분적분으로 생긴 분수 항은 사라지고 마지막 적분만 남는다. 그러면 아래와 같이 형태5가 얻어진다.
\end{aligned} )]


4. 사용[편집]

제타 함수의 음의 정수로의 해석적 연속, 스털링 근사의 증명 등에 쓰인다.
파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-10-25 19:41:23에 나무위키 오일러-매클로린 공식 문서에서 가져왔습니다.

[1] [math(0)] 이상의 정수[2] 구간 [math([m,n])]에서 [math(p)]계도함수가 연속

관련 문서