그물(수학)

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1. 개요[편집]

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그물은 유향집합을 정의역으로 갖는 함수로, 점렬의 일반화이다.

2. 배경[편집]

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거리공간에서 성립하는 점렬에 관한 성질은 일반적인 위상공간에서 성립하지 않는 경우가 있다.

• 거리공간에서 점렬의 극한을 보존하는 함수는 연속이지만 일반 위상공간에서 함수가 점렬의 극한을 보존하는 것은 연속성을 함의하지 않는다.
• 거리공간에서 한 집합의 수렴하는 점렬의 극한 집합은 그 집합의 폐포이지만 일반 위상공간에서 점렬의 극한 집합은 폐포의 진부분집합일 수 있다.

이는 점렬이 가산집합인 자연수 집합을 정의역으로 하여, 그 크기가 충분히 크지않기 때문이다. 그물은 점렬의 정의역을 유향집합으로 확장하여 거리공간의 점렬에 관한 성질을 위상공간으로 일반화한다.

3. 정의[편집]

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3.1. 유향집합[편집]

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다음과 같은 이항관계 [math(\lesssim)]가 주어진 집합 [math((A,\ \lesssim))]를 유향집합이라고 한다.

• 모든 [math(\alpha\in A)]에 대하여 [math(\alpha\lesssim\alpha)].
• [math(\alpha\lesssim\beta,\ \beta\lesssim\gamma)]이면 [math(\alpha\lesssim\gamma)].
• 임의의 [math(\alpha,\ \beta)]에 대하여 [math(\alpha\lesssim\gamma,\ \beta\lesssim\gamma)]인 [math(\gamma\in A)]가 존재한다.

3.2. 그물[편집]

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집합 [math(X)]의 그물은 유향집합 [math((A,\ \lesssim))]에서 [math(X)]로 가는 함수이다. 그물은 점렬과 유사하게 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]와 같이 나타낸다. 그물 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]의 부분그물은 다음 조건을 만족시키는 사상 [math(\beta\mapsto\alpha_\beta)]이 주어진 그물 [math((y_\beta)_{\beta\in B})]이다.

• 임의의 [math(\alpha_0\in A)]에 대하여 [math(\beta\gtrsim\beta_0\Rightarrow\alpha_\beta\gtrsim\alpha_0)]를 만족시키는 [math(\beta_0 \in B)]가 존재한다.
• [math(y_\beta = x_{\alpha_\beta})]

위상공간 [math(X)]와 [math(X)]의 부분집합 [math(E)], [math(X)]의 그물 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]에 대하여 [math(\alpha\gtrsim \alpha_0)]이면 [math(x_{\alpha}\in E)]를 만족시키는 [math(\alpha_0\in A)]가 존재하면 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]는 결과적으로(궁극적으로) [math(E)]에 속한다라고 한다. 임의의 [math(\alpha\in A)]에 대하여 [math(x_\beta \in E)]인 [math(\beta\in A)]가 존재하면 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]는 빈번하게 [math(E)]에 속한다라고 한다. 점 [math(x\in X)]와 [math(x)]의 모든 근방 [math(U)]에 대하여 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]가 결과적으로 [math(U)]에 속하면 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]는 [math(x)]에 수렴한다고 하며, [math(x)]를 [math((x_\alpha)_{\alpha\in A})]의 극한이라고 한다.

4. 성질[편집]

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그물은 거리공간에서 점렬의 성질을 자연스럽게 대체한다.

• 위상공간 [math(X)]와 부분집합 [math(E\subseteq X)]에 대하여 점 [math(x\in X)]가 [math(E)]의 집적점일 필요충분조건은 [math(x)]로 수렴하는 [math(E\setminus\{x\})]의 그물이 존재하는 것이다. [math(x\in \overline E)]일 필요충분조건은 [math(x)]로 수렴하는 [math(E)]의 그물이 존재하는 것이다.
• 두 위상공간 [math(X,\ Y)]에 대하여 함수 [math(f:X\to Y)]가 점 [math(x\in X)]에서 연속일 필요충분조건은 [math(x)]로 수렴하는 임의의 그물 [math((x_\alpha))]에 대하여 그물 [math(f(x_\alpha))]가 [math(f(x))]로 수렴하는 것이다.
• 위상공간 [math(X)]의 점 [math(x)]에 대하여 [math(X)]의 그물 [math((x_\alpha))]가 [math(x)]의 임의의 근방 [math(U)]에 빈번하게 속할 필요 충분 조건은 [math(x)]로 수렴하는 [math((x)_\alpha)]의 부분그물이 존재하는 것이다.

5. 둘러보기 틀[편집]

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