현수선
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1. 개요[편집]
catenary · 懸垂線
밀도가 균일한 선이 양끝만 고정되어 길이에 비례하는 외력에 의해 처진 선. 또한 이는, 밀도가 균일한 선을 양끝에 고정시켰을 때, 줄의 전체 퍼텐셜 에너지가 최소화되는 곡선이기도 하다. (단, 줄의 변형은 무시한다.) 한편 수평거리에 비례하는 외력이 가해지는 경우 포물선 형태가 된다.
직관적인 예시는, 목걸이의 모습이나 체인으로 걸어놓은 출입 제한선 같은 모양을 떠올리면 현수선과 비슷한 모습이 나올 것이다.[1]
현수선의 방정식은 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y(x)&=a\cosh{\left( \frac{x}{a} \right)} \\ &=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a}) \end{aligned} )]
[math(a)]는 상수이며, 포물선과 비슷한 모양이지만 일치하지 않는다.[비교] 위 식에서 [math(x \ll a)]를 만족시키면, 포물선으로 근사할 수 있다.[2]
2. 유도 과정[편집]
2.1. 유도 1[편집]
위 그림과 같이 두 점 [math( (x_{1},\,y_{1}) )]과 [math( (x_{2},\,y_{2}) )] 사이에 양끝이 고정되고 매달린 길이 [math(L)]의 선을 고려하자. 이 선을 기술하는 곡선이 [math(y=y(x))]의 그래프를 따르고, 선의 밀도를 [math(\rho)]라 하자. 중력은 [math(\mathbf{g}=-g \hat{\mathbf{y}})]이다.
지점 [math((x,y))]에 걸리는 장력을
[math(\displaystyle \mathbf{T}(x)=T_{x}(x)\hat{\mathbf{x}}+T_{y}(x)\hat{\mathbf{y}} )]
로 나타내자. 그러면 미소 구간 [math((x,x+d x))] 사이에 있는 미소 길이 [math(dx)]의 선에는 양 끝점에서의 장력 둘과 중력 이렇게 세 가지 힘이 작용한다. 이 [math(s(x) )]를 [math(x)]까지의 선의 길이라 하면, 미소 선의 길이를 [math(s(x+d x)-s(x) \equiv ds)]라 할 수 있다.
우선 미소 구간에 있는 선에 대해 [math(x)]축에 대한 힘의 평형은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle T_{x}(x)=T_{x}(x+dx) )]
또한, [math(y)]축에 대해
[math(\displaystyle -\rho g\,ds +T_{y}(x+dx)-T_{y}(x)=0 )]
[math(x)]축에 대한 평형조건으로부터 [math(T_{x} \equiv T)]의 상수여야 한다. 또한, 장력은 선의 접선 방향으로 작용함에 따라
[math(\displaystyle \frac{T_{y}}{T_{x}}=y' \, \to \, T_{y}=Ty' )]
를 만족시켜야 한다. 이때, 곡선의 길이 공식으로부터
[math(\displaystyle \frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^{2}} )]
이고, [math(y)]축에 대한 평형 식을 위에서 나온 조건을 대입하고, 미소 구간 길이 [math(dx)]로 양변을 나누면,
[math(\displaystyle Ty''=\rho g \sqrt{1+(y')^{2}} )]
의 미분 방정식이 나온다. 이 방정식을 풀면[3], 곡선을 기술하는 현수선 방정식을 찾을 수 있다.
[math(\displaystyle y(x)=\frac{1}{c}\cosh{[ c(x-x_{0}) ]}+y_{0} )]
[3] [math(y')]를 [math(z)]로 치환하고 변수분리법을 사용해 풀면 [math(z)]가 [math(\sinh)] 형태로 나온다.
이때, [math(c \equiv \rho g / T)]이고, [math(x_{0},y_{0})]는 결정해야 할 상수이다.
[math(c, \,x_{0},y_{0})]는 다음의 조건을 이용하여 구할 수 있다.
- 줄의 길이가 [math(L)]로 정해져 있다.
[math(\displaystyle \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1+(y')^{2}} \,dx=L )]
- 줄의 양끝점은 [math( (x_{1},\,y_{1}) )]와 [math( (x_{2},\,y_{2}) )]에 고정되어 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} y_{1}&=\frac{1}{c}\cosh{[ c(x_{1}-x_{0}) ]}+y_{0} \\ y_{2}&=\frac{1}{c}\cosh{[ c(x_{2}-x_{0}) ]}+y_{0} \end{aligned} )]
2.2. 유도 2[편집]
이번엔 현수선의 또 다른 정의인 줄의 전체 퍼텐셜 에너지가 최소가 되는 곡선임을 증명해보자. 이 증명에는 변분법이 이용된다.
고려하는 선의 조건은 유도 1에서 사용했던 것과 같다. 곡선 [math(y(x) )]로 기술되는 선의 미소 구간에 대한 퍼텐셜 에너지는
[math(\displaystyle dU=\rho g \cdot ds \cdot y )]
이때,
[math(\displaystyle ds=\sqrt{1+(y')^{2}} )]
를 이용하고, 이것을 줄 전체에 대해 적분하면, 줄의 퍼텐셜 에너지를 얻는다.
[math(\displaystyle U=\rho g \int_{x_{1}}^{x_{2}} y \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx )]
이때, 범함수
[math(\displaystyle J(y,\,y';\,x) \equiv y \sqrt{1+(y')^{2}} )]
를 얻으며, 이 범함수를 오일러-라그랑주 방정식
[math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial J}{\partial y'}=0 )]
에 대입하고 정리하면, 아래의 미분 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{y}{\sqrt{1+(y')^{2} } }=c )]
[math(c)]는 상수이다. 이 미분 방정식의 해는
[math(\displaystyle y=k \cosh{\left( \frac{x}{c}+d \right)} )]
의 형태이므로 현수선에 해당한다. 단, [math(k,\,c,\,d)]는 결정해야 할 상수이고, 유도 1의 세 가지 식을 연립해서 구할 수 있다.
3. 기타[편집]
- 포물선을 직선 위에 굴릴 때 초점이 그리는 곡선은 현수선이다.
- 상대성 이론에 의하면 균등한 전기장에서 운동하는 전하의 궤도는 현수선이다.
- 여러 적절한 모양의 (뒤집은) 현수선으로 바닥을 만들고 그 위에 정사각형을 굴릴 때 정사각형의 중심이 그리는 궤도는 [math(x)]축과 평행한 직선이다. 즉, 네모난 바퀴를 가진 자전거를 편안하게 타고 싶으면 트랙의 표면을 현수선 모양으로 만들면 된다.
4. 관련 문서[편집]
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