위상수학자의 사인곡선

우선, [math(T)]가 경로 연결 공간임을 보이자. [math(T)] 위의 임의의 두 점이 [math(\left( x, \sin \dfrac 1x \right))], [math(\left( y, \sin \dfrac 1y \right))]일 때, 경로 [math(f: I = [0, 1] \to T)]를

로 놓으면 [math(f)]가 두 점 사이의 경로를 준다.
이제 곡선 [math(T)]가 경로 연결 공간이므로, [math(T)]는 자연스럽게 연결 공간이 된다.[1] 연결 공간의 폐포도 연결 공간이므로, [math(\overline T)]는 연결 공간이다.□

결론을 부정하여 [math(\overline T)]가 경로 연결 공간이라고 하자. 그러면, [math(\overline T)]의 점 [math(f(0) = (0, 1))]과 [math(f(1) = (1, \sin 1))]을 잇는 경로 [math(f: I = [0, 1] \to \overline T)]가 존재한다. 경로 [math(f)]는 2차원 공간 [math(\mathbb R^2)]를 공역으로 갖는 연속함수이므로, [math(x)]축 및 [math(y)]축에 해당하는 성분함수 [math(f_1: I = [0, 1] \to \mathbb R)]와 [math(f_2: I = [0, 1] \to \mathbb R)]도 연속함수이다.

이제 [math(\overline T)]의 닫힌 부분집합 [math(\left\{ 0 \right\} \times I \subset \overline T)]를 생각하면, 역상 [math(f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I))]도 [math(I)]의 닫힌 부분집합 이어야 한다. 한편 실수의 유계이면서 닫힌 부분집합은 최댓값을 가지므로, [math(\alpha = \sup f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I))]라 놓을 때 [math(f(\alpha ) = (0, \beta ) \in \left\{ 0 \right\} \times I)]이다.

다음으로 [math(\gamma \in I - \left\{ \beta \right\})]인 [math(\gamma)]를 고르고, [math(\sin \phi = \gamma )]인 [math(\phi \in [0, 2 \pi])]를 택하자. [math(\alpha < 1)]이므로, [math(\alpha < \alpha' < 1)]인 [math(\alpha')]를 아무거나 고르자. [math(\alpha' > \alpha)]이므로 [math(f_1(\alpha') > 0)]이다. 따라서 중간값 정리에 의해 [math(f_1([\alpha, \alpha']))]은 [math(\left[ 0, f_1(\alpha') \right])]의 모든 값을 가지며, 이 중에는 특별히 [math(\dfrac 1{2n \pi + \phi})]와 같은 수들이 무수히 많이 존재한다.

따라서, [math(f([\alpha, \alpha']))]는 무수히 많은 [math(\left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right))]를 가진다. 이 집합의 극한점은 [math((0, \gamma))]인데, 구간 [math([\alpha, \alpha'])]가 닫힌 집합이므로 [math((0, \gamma) \in f([\alpha, \alpha']))]이다. 그런데 [math([\alpha, \alpha'])]의 점 중에서 [math(\alpha)]를 제외한 점들은 전부 [math(x)]좌표가 양수이므로 [math((0, \gamma))]가 될 수 있는 것은 [math(\alpha)] 뿐이다. 그러나, [math(f(\alpha ) = (0, \beta ) \neq (0, \gamma))] 이므로 모순을 얻는다.

종합하면 귀류법의 가정이 잘못되었으며, [math(\overline T)]는 경로 연결 공간이 아니라는 결론을 얻는다.□