삼각 적분 함수

덤프버전 :

분류

파일:다른 뜻 아이콘.svg
은(는) 여기로 연결됩니다.
삼각함수의 역도함수를 구하는 방법에 대한 내용은 삼각함수/역도함수 문서
를
의 삼각함수/역도함수번 문단을
의 삼각함수/역도함수# 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
, {{{#!html }}}에 대한 내용은 문서
를
의 #s-번 문단을
의 #s-번 문단을
의 # 부분을
의 # 부분을
참고하십시오.




특수함수
Special Functions

[ 펼치기 · 접기 ]
적분
오차함수(error function) · 베타 함수(불완전 베타 함수) · 감마 함수(불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식
르장드르 함수* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수
브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수
제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론
소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타
헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션(무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.



삼각함수 · 쌍곡선함수
Trigonometric Functions · Hyperbolic Functions



1. 설명
2. 특징
2.1. 윌브레이엄-기브스 상수
3. 관련 문서



1. 설명[편집]

삼각 적분 함수(三角 積分 函數, trigonometric integrals)는 특수함수의 하나로, 각각 [math(\mathrm{Si}(x))], [math(\mathrm{Ci}(x))]로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Si}(x) &\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Ci}(x) &\equiv -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})][1]
[1] 그래프 그려주는 프로그램 중 하나인 Desmos에서는 무한대를 입력할 수 없던 시절부터 [math(\displaystyle \mathrm{Ci}(x)=\int_0^x\frac{\cos t-1}t\,\mathrm{d}t+\ln x-\int_0^1\ln{\!\left[\ln{\!\left(\frac1t \right)} \right]}\mathrm{d}t)]로 입력할 수 있다. 요즘은 
infty
라 쓰면 [math(\infty)]가 입력되지만 아직까지 사용은 제한적이다. 당장 이 함수도 제대로 출력되지 않는다.

이 함수에 대한 그래프는 아래와 같다.

파일:나무_삼각적분함수_그래프_NEW.png
위 그래프에서 보듯 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Si}(x) = {\pi}/{2} )], [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ci}(x) = 0)]이다.


2. 특징[편집]

특이하게도 사인, 코사인만 적분이 정의되고 그 외의 삼각함수는 적분이 정의되지 않으며, 원본 함수와는 달리 [math({\mathrm{Si}(x)}/{\mathrm{Ci}(x)})]를 한다고 탄젠트 적분 함수를 만들 수 있는 것도 아니다.

사인 곡선에서 유도되는 함수인 만큼 파동이나 전기적 신호를 다루는 학문에서 널리 쓰인다.

둘 다 대칭함수이다. [math(\mathrm{Si}(x))]는 홀함수, 실수부를 취한 [math(\Re(\mathrm{Ci}(x)))]는 짝함수이다.[2]

양수 범위에서 [math({\rm Si}(x))]는 [math(x=\pi)]에서, [math({\rm Ci}(x))]는 [math(\displaystyle x={\pi}/{2})]에서 최댓값을 갖는다.

다음은 같이 급수 전개식을 갖는다. 이 식은 독일의 수학자 요한 폰 졸트너가 1809년에 제시했다.[출처] 아래의 식에서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.
\end{aligned} )]


2.1. 윌브레이엄-기브스 상수[편집]


수학상수
Mathematical Constants

[ 펼치기 · 접기 ]
[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(\sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
(카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
(뮌하우젠 수)
[math(\pi)]
(원주율)[math(\ast)]
[math(\tau)]
(새원주율)[math(\ast)]
[math(e)]
(자연로그의 밑)[math(\ast)]
[math(\varphi)]
(황금수)
[math(\gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(\gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(\delta)], [math(\alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(\Omega)]
(오메가 상수)[math(\ast)]
[math(2^{\sqrt{2}})]
(겔폰트-슈나이더 상수)[math(\ast)]
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(\rho)]
(플라스틱 상수)
[math(\mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n\,)]
(챔퍼나운 상수)[math(\ast)]
[math(\zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({\rm Si}(\pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e\, {\rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)




Wilbraham-Gibbs constant

위에서 언급한 [math({\rm Si}(x))]의 최댓값인 [math({\rm Si}(\pi))]는 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 [math(1.851937)] 정도의 값으로, 푸리에 급수의 부산물 중 하나이다. 헨리 윌브레이엄과 조시아 윌러드 깁스가 발견했다.

저 윌브레이엄-기브스 상수에 [math(\displaystyle {2}/{\pi})]를 곱하면 '기브스 상수'[3]라는 또 다른 상수가 된다.


3. 관련 문서[편집]


[2] 실수부를 취하지 않을 경우 [math(x<0)] 범위에서 [math(\mathrm{Ci}(x)=\Re(\mathrm{Ci}(x))+i\pi)]이므로 짝함수가 아니다.[출처] Johann Georg von Soldner, 1809, treatise Théorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante (영어 번역: Theory and tables of a new transcendental function)[3] 약 [math(1.178980)]


파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-02 14:28:40에 나무위키 삼각 적분 함수 문서에서 가져왔습니다.

관련 문서