닐센-서스턴 분류

Nielsen-Thurston Classification

일단 mapping class group을 읽고 와야 이 문서를 이해할 수 있다.
윌리엄 서스턴이 완성한 homeomorphism들의 분류이다.

1. 개요[편집]

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[math(f \in \mathrm{Mod}(S_{g,n}))]에 대해서 [math(f)]는 periodic, reducible, 혹은 pseudo-Anosov이다. 이때, [math(f)]가 pseudo-Anosov면 [math(f)]는 periodic도 reducible도 아니다.

periodic은 다음을 말한다.
[math(f)] class에 속하는 [math(g)]의 어떤 power가 identity map이다.

reducible은 다음을 말한다.
[math(f)] class에 속하는 [math(g)] 어떤 S 안의 disjoint simple closed curves들의 유한 합집합을 보존한다.

보면 알겠지만, periodic과 reducible임을 보이거나, 그것이 아님을 보이는 것은 매우 쉬운 일이다.
하지만, pseudo-Anosov임을 보이는 것은 상대적으로 매우 어렵다.

Nielsen-Thurston classification은 어떤 mapping이 pseudo-Anosov임을 보이는 것에 대한 criterion을 제시한다.
periodic과 reducible이 아니면 pseudo-Anosov이므로, pseudo-Anosov라는 매우 좋은 조건을 쉽게 유도해낼 수 있다.