로그 감마 함수

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.



1. 개요
2. 무한급수 표기
3. 미적분
3.1. 도함수
3.2. 역도함수
4. 기타


1. 개요[편집]

log gamma function

감마 함수와 자연로그의 합성함수. 보통 [math(\ln \Gamma(x))] 또는 [math({\rm Log}\,\Gamma(z))]로 쓰인다.

아래는 [math(y: {\mathbb R} \to {\mathbb C})]의 그래프이다. 적색 선은 해당 함수의 실수부, 청색 선은 해당 함수의 허수부이다.

파일:나무_로그_감마_함수.svg

2. 무한급수 표기[편집]

무한급수 표기가 가능하다. 하지만 수렴이 매우 느리다.

[math(\displaystyle {\rm Log} \,\Gamma(z) = -\gamma z -{\rm Log}\,z -\sum_{k=1}^\infty \biggl\{ \frac zk -{\rm Log} \biggl( 1+\frac zk \biggr) \!\biggr\})]

[math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다.


3. 미적분[편집]


3.1. 도함수[편집]

  • [math( [{\rm Log}\,\Gamma(z) ]' = \psi(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} )]
여기서 [math(\psi(z))]는 디감마 함수이다. 감마 함수는 도함수가 재귀적으로 정의되는 성질이 있기 때문에, 이를 닫힌 형식으로 나타내려면 테일러 전개 등 다른 방법을 사용해야 한다.


3.2. 역도함수[편집]

  • [math(\displaystyle \int {\rm Log}\,\Gamma(z) \,{\rm d}z = \psi^{(-2)}(z) + {\sf const.})]


3.3. 정적분[편집]

  • [math(\displaystyle \int_0^1 {\rm Log}\,\Gamma(z) \,{\rm d}z = \ln\sqrt{2\pi})]


4. 기타[편집]

  • 엑셀에서는 이 함수를 GAMMALN이라고 칭한다. 반면에 매스매티카에서는 이 함수를 LogGamma라고 칭한다.
  • 이 함수를 이용하면 소프트웨어에서 계산이 불가능한 값도 값이 어느정도인지 추산할 수 있다. 예를 들어서 [math(\Gamma(10000))]은 엑셀의 최대 범위를 넘어가나 [math(\ln\Gamma(10000))]은 약 82099.7175이다.이 값을 [math(\ln 10)]으로 나눈 값은 약 35655.45427이다. 밑이 10이고 지수가 약 35655.45427인 실수가 대략적인 [math(\Gamma(10000))]의 값임을 추측할 수 있고 따라서 [math(\Gamma(10000))]이 약 2.84\times{10}^{35655}임을 알 수 있다.
  • 이곳에 좀 더 많은 정보가 담겨있다.


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