불완전 감마 함수

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.




1. 정의
2. 도함수
3. 응용
4. 기타
5. 관련 문서



1. 정의[편집]

incomplete gamma function

불완전 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \Gamma( a,\,x ):=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,{\rm d}t)]

감마 함수는 위 식에서 [math(x=0)]인 경우에 해당한다. 불완전이라는 이름이 붙은 이유는 적분 구간이 감마 함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비초등함수로 분류되긴 하지만 [math(a)]가 [math(a>1)]인 정수인 경우에는 유한 개의 초등함수의 결합으로 표현이 가능하다.

이 함수와 관련하여 '하부 불완전 감마 함수'가 있는데 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle \gamma ( a,\,x ):=\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}{\rm d}t)]



2. 도함수[편집]

[math(\dfrac{\partial}{\partial x}\Gamma ( a,\,x)=-x^{a-1}e^{-x})]



3. 응용[편집]

이 함수의 정의를 이용하여 여러 함수의 역도함수를 구해볼 수 있다.

예 1
-
[math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x}\,{\rm d}x)]를 구하시오.

[math(x=-t)]로 치환하면, [math({\rm d}x=-{\rm d}t)]이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.

[math(\displaystyle -\int \frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t)]

이는 위 정의에서 [math(a=0)], [math(x=t)]를 대입한 꼴이므로

[math(\displaystyle -\int \frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t=-\Gamma(0,\,t) )]

이상에서 역도함수는 적분 상수 [math(\sf{const.})]를 도입하여

[math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x}\,{\rm d}x=-\Gamma(0,\,-x)+\sf{const.})]

한편, [math({\rm Ei}(x)\equiv - \Gamma ( 0,\,-x ))]로 정의한다.


예 2
-
[math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln{x}}\,{\rm d}x)]를 구하시오.

[math(\ln{x}=t)]로 치환하면, [math({\rm d}x=e^{t}\,{\rm d}t)]이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.

[math(\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t}\,{\rm d}t)]

이는 예 1에서 보았던 꼴이므로

[math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln{x}}\,{\rm d}x=-\Gamma(0,\,-\ln{x})+\sf{const.})]

마찬가지로, [math({\rm li}(x)\equiv -\Gamma(0,\,-\ln{x}))]로 정의한다.


예 3
-
[math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm d}x)]를 구하시오.

[math(\ln{x}=\sqrt{t})]로 치환하면

[math(\displaystyle{\rm d}x=\frac{{\rm d}t}{2\sqrt{t}})]

이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.

[math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,{\rm d}t=\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot\left( -\int t^{1/2-1}e^{t}\,{\rm d}t\right) )]

위 정의에서 [math(a=1/2)]인 경우가 위 적분식과 동일하므로

[math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,{\rm d}t=-\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{1}{2},\,t \biggr))]

이상에서 역도함수는 적분 상수 [math(\sf{const.})]를 도입하여

[math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=-\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{1}{2},\,x^{2} \biggr)+\sf{const.})]

한편,

[math({\rm erf}(x)\equiv -\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma\biggl( \dfrac 12,\,x^2 \biggr))]

로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[1]


4. 기타[편집]

푸아송 분포의 누적 분포 함수에도 불완전 감마 함수가 등장한다.


5. 관련 문서[편집]



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[1] 정확히는 위 계산식에 [math({2}/{\sqrt{\pi}})]를 곱한 것이다.

관련 문서