베타 함수

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* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다.



1. 정의
2. 성질
3. 일반화
4. 고등학교 교육과정에서의 활용


1. 정의[편집]

beta function

[math(x>0)], [math(p>0)]에 대하여 베타 함수를 아래와 같이 정의한다.

[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p) := \int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{p-1}\,{\rm d}t )]


2. 성질[편집]

베타 함수는 분모와 분자의 위치를 바꾸어 이항계수를 실수 범위로 확장한 것이라 볼 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.
  • [math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p) =\frac{p-1}{x+p-1}{\rm B}(x,\,p-1))]
  • [math(\displaystyle {\rm B}(n-k+1,\,k+1) =\left[(n+1) \binom{n}{k} \right]^{-1})]
이때, [math(\binom{n}{k}={}_{n}{\rm C}_{k})]이다.

[math(t)]를 삼각함수로 치환하면, 다음과 같은 꼴이 나타난다.

[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2x-1}{\theta}\cos^{2p-1}{\theta}\,{\rm d}\theta )]

즉, 삼각함수의 적분을 유용하게 나타낼 수 있는 수단이 된다.

또한, 다음과 같이 감마 함수를 이용하여 정의할 수도 있다.

[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)=\frac{\Gamma (x) \Gamma (p)}{\Gamma (x+p)} )]

[유도 과정]
--

<math>\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(x)\Gamma(p) &= \int_0^\infty x^{x-1} e^{-x}\,\mathrm{d}x \, \int_0^\infty y^{p-1} e^{-y} \mathrm{d}y \\&= \int_0^\infty \int_0^\infty x^{x-1} y^{p-1} e^{-x-y}\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{aligned}</math>

여기서 [math(x=uv)], [math(y=u ( 1-v ) )]라 하면 [math(v \in [0,\,1])], [math( u \in [0,\,\infty))], [math( \left| J \right| = u)]이므로

<math>\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(x)\Gamma(p) & = \int_0^1 \int_0^\infty ( uv ) ^{x-1} ( u ( 1-v ) ) ^{p-1} e^{-u} u \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v \\&= \int_0^1 \int_0^\infty v^{x-1} ( 1-v ) ^{p-1} u^{x+p-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u \mathrm{d}v \\&= \int_0^1 v^{x-1} ( 1-v ) ^{p-1}\,\mathrm{d}v \int_0^\infty u^{x+p-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u \\&= \Beta (x,\,p) \Gamma (x+p) \end{aligned}</math>

--

한편, 베타 함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,

[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)={\rm B}(p,\,x) )]

가 성립한다. 이는 베타 함수의 정의에서 [math(t )]를 [math(1-t)]로 치환하면 나온다.

특수한 경우로 [math(x+p=1)]을 만족시키면 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,1-x)=\frac{\pi}{\sin{\pi x}} )]

이것은 베타 함수를 감마 함수로만 바꾸어 증명할 수 있다.


3. 일반화[편집]

베타 함수의 정의식은 적분의 상한이 1이다. 이때, 상한을 1이 아닌 상수로 두면 불완전 베타 함수가 된다. 이 함수에 대한 자세한 정보는 해당 문서를 참고하라.


4. 고등학교 교육과정에서의 활용[편집]

[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m (x-\beta)^n \,{\rm d}x &= \dfrac{(-1)^n\cdot m!\cdot n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}\int_0^{\pi/2} \sin^{2m} \theta \cos^{2n+1} \theta \,{\rm d}\theta &= \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} \theta \cos^{2m} \theta \,{\rm d}\theta \\&= \frac{4^n}{2m+2n+1} \frac{\displaystyle \binom{m+n}{n}}{\displaystyle \binom{2m+2n}{2n} \binom{2n}{n}}
\\ \\ \int_0^{\pi/2} \sin^{2m} \theta \cos^{2n} \theta \,{\rm d}\theta &= \frac{\pi}{2^{2m+2n+1}} \frac{\displaystyle \binom{2m}{m} \binom{2n}{n}}{\displaystyle \binom{m+n}{n}}
\\ \\ \int_0^{\pi/2} \tan^p \theta \,{\rm d}\theta &= \int_0^{\pi/2} \cot^p \theta \,{\rm d}\theta = \frac\pi2 \sec {\left( \frac\pi2 p \right)} \quad (| p | < 1)
\\ \\ \int_0^\infty \frac1{x^k+1} \,{\rm d}x &= \frac{\pi/k}{\sin{(\pi/k)}} \quad (k>1)
\\ \\ \int_0^1 \left( \frac1t -1 \right)^x \,{\rm d}t &= \frac{\pi x}{\sin \pi x} \end{aligned} )]


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