아핀접속

1. 개요[편집]

---

미분기하학에서 아핀접속(affine connection)은 인접 접공간(tangent space)들을 연결하는 매끄러운 다양체(smooth manifold) 상에 존재하는 기하학적 대상이다.(영문위키 참고) 그래서 접벡터장(tangent vector field)이 다양체상의 함수인 것처럼 미분가능하게 한다. 연결(connection)은 벡터번들(vector bundle)의 단면적(section)의 미분을 정의하는 가장 간단한 방법이다.

아핀접속은 19세기 기하학과 텐서미적분학에 기원을 두고 있으며, 1920년대 엘리 카르탕(Elie Cartan)과 허먼 바일(Hermann Weyl, 일반상대성 이론의 기초로서 연구)에 의해 완전한 형태로 정착되었다. 특히 카르탕은 아핀접속의 선택이 다양체를 국소적으로 유클리드 공간으로 볼 수 있게 해준다는 점에 주목했다.

양수 차원의 모든 다양체들은 무한히 많은 아핀접속을 가지고 있다. 만일 다양체가 계량텐서(metric tensor)를 제공한다면 거기에는 아핀접속을 선택하는데에 있어서 자연스러운 선택지가 있으며, 그 선택지가 레비-치비타 접속이다. 다양체 위에 가능한 여러가지 아핀접속중에 무언가를 선택한다는것은 여러 조건(선형성과 라이프니츠 규칙)을 만족하는 벡터장의 미분방법을 처방(prescribe)하는것과 동일하다. 그리고 이것은 아핀접속을 접번들(tangent bundle)상에서 공변미분(covariant derivative)이나 (선형)접속으로 정의하는것을 가능하게 해준다.

아핀접속의 선택은 또한 평행이동과 동일하게 간주될 수 있으며, 이때 평행이동은 접벡터를 곡선을 따라 평행이동하는 것을 의미한다. 이것은 또한 프레임번들(frame bundle) 상에서의 평행이동을 정의한다. 프레임번들에서의 미소(infinitesimal) 평행이동은 아핀접속의 또다른 표현을 얻는데, 그 표현은 아핀 군의 카르탕 접속 혹은 프레임번들 상의 주접속(principal connection) 중에 하나이다.

아핀접속의 주요 불변량(invariants)은 비틀림(torsion)과 곡률(curvature)이다. 비틀림은 리 브래킷(Lie bracket)의 벡터장을 아핀접속으로부터 얼마나 복구할 수 있는지를 측정한다. 아핀접속은 또한 다양체 상에서의 (아핀) 측지선(geodesic)을 정의하는 데에 쓰일 수 있다.