에르미트 행렬

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분류


1. 개요
2. 기타


선형대수학
Linear Algebra

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1. 개요[편집]

복소수체 위의 행렬 [math(A)]에 대해 [math(A)]의 각 원소에 켤레를 취한 행렬을 '[math(A)]의 켤레 행렬(conjugate of [math(A)])'이라 하고[1] [math(\bar{A})]로 표기한다. 또 [math(A)]의 전치행렬을 [math(A^{T})]로 표기한다. 이때 [math(\overline{A^{T}})]=[math(\overline{A}^{T})][2]를 [math(A^{\dagger})][3]라 표기하고 '[math(A)]의 켤레 전치 행렬(conjugate transpose of [math(A)])' 혹은 에르미트 전치 행렬(Hermitian transpose)이라고 한다.

이제 복소수체 위의 행렬 [math(H)]가 [math(H=H^{\dagger})]을 만족할 때 [math(H)]를 에르미트 행렬(Hermitian Matrix)이라고 부른다. 자기 자신이 수반행렬임에 따라 자기 수반 행렬(self-adjoint matrix)이라고도 한다.

에르미트 행렬은 다음 두 가지 성질을 만족하는데, 스펙트럼 정리의 일부분이다.

1. 고윳값들은 항상 실수이다.
2. 고유벡터들은 항상 직교한다.

또한, 정의를 조금 조작할 경우 다음과 같은 성질 역시 존재함을 쉽게 알 수 있다. 위의 두 성질은 아래의 성질에서 유도가 가능하다.

[math(n)]차 정사각행렬 [math(\displaystyle A_n)]을 [math(\displaystyle A_n=[a_{ij}])]라고 표기하자.
그러면 에르미트 행렬의 정의에 따라서 [math(\displaystyle \overline{A^{T}}=[\overline{a_{ji}}]=[a_{ij}]=A_n)]가 된다.
여기서 [math(i=j)]인 값. 즉 주대각선의 성분을 보면 [math(\displaystyle \overline{a_{ii}}=a_{ii})]인데, 복소수의 상등 성질과 켤레복소수의 성질을 고려하면 허수부가 0인 실수성분만이 남는다는 것을 알 수 있다.
따라서 주대각선은 모두 실수 성분이며, 여기서 행렬연산을 이용해서 삼각행렬을 만들면 고윳값이 실수임을 쉽게 보일 수 있다. ||

2. 기타[편집]

  • 수반 연산자 문서에서 Hermitian에 대한 전반적인 성질과 재해석을 다룬다.
  • 철자가 비슷한 Hamiltonian([math(\mathcal{H})])과 헷갈리기 쉽다. 게다가 에르미트 행렬은 해밀토니안과 상당히 가까운 관계이기까지 하다.[4]


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[1] 이를 공액전치행렬(共軶轉置行列)로도 쓴다. 공액(共軶)이 켤레를 뜻하는 한자어이다. 같은 맥락에서 켤레복소수는 공액복소수라고도 한다. 같은(共) 멍에(軶)를 멘 두 마리의 말이라는 의미이다. [2] 물론 항상 성립한다.[3] 분야에 따라 표기가 다른데 순수수학에서는 별표([math(\ast)])를 쓰고, 물리학에서는 칼표([math(\dag)])를 쓴다.[4] 물론 수학적으로는 전혀 비슷하진 않다. 에르미트 행렬은 따지고 보면 그냥 선형사상에 불과하지만 해밀토니안은 범함수이기 때문이다.

관련 문서