행렬표현

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선형대수학
Linear Algebra

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1. 개요
2. 정의
2.2. 행렬표현
3. 실수체에서의 행렬표현
4. 예
5. 기하학에서의 행렬표현
5.1. 평면기하 (2차원)
5.2. 공간기하 (3차원)
5.3. 성질
6. 합성변환의 행렬표현
7. 역변환의 행렬표현
9. 기저변환행렬
10. 동차 좌표계
11. 행렬의 닮음


1. 개요[편집]

선형변환의 행렬표현(matrix representation)은 두 벡터공간 [math(V)], [math(W)]의 차원이 유한할 때, 선형변환 [math(T: V \to W)]를 나타내는 행렬이다. 행렬표현은 정의역과 공역의 기저의 선택에 따라 달라질수 있으며, 정의역과 공역이 같은 선형변환 [math(T: V \to V)]의 임의의 기저에 대한 행렬표현은 모두 닮음 관계이다.


2. 정의[편집]


2.1. 좌표[편집]

유한차원 벡터공간 [math(V)]와 기저 [math(\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\})]이 주어져 있을 때, 임의의 [math(v\in V)]에 대하여,
[math(v=c_{1}\beta_{1}+\cdots +c_{n}\beta_{n})]
을 만족하는 스칼라 [math(c_{1},\cdots,c_{n})]가 유일하게 존재하는데, 아래의 열벡터
[math([v]_{\beta}=\begin{pmatrix} c_{1}\\ \vdots \\ c_{n} \end{pmatrix})]
를 [math(v)]의 좌표라고 한다. 주어진 벡터공간이 내적공간이며, 기저가 정규직교기저라면 기저열과 내적하는 것으로 좌표를 바로 산출할 수 있다.


2.2. 행렬표현[편집]

체 [math(F)]위의 두 유한차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(W)]가 주어져 있고, 그 기저가 각각 [math(\beta_V)], [math(\beta_W)]이라 하자. [math(\text{dim}V=n)], [math(\text{dim}W=m)]일 때, 함수 [math(L:[v]_{\beta_{V}}\mapsto [ T(v) ]_{\beta_{W}})]은 [math(F^{n})]에서 [math(F^{m})]으로 가는 선형변환이다. 그러므로,
[math([T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}} [v]_{\beta_{V}}=[ T(v) ]_{\beta_{W}})]
를 만족하는 [math(m\times n)]행렬 [math([T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}})]가 존재하며 이를 선형변환 [math(T)]의 행렬표현이라고 한다. [math(T)]의 정의역과 공역이 같을 때, [math([T]_{\beta})]는 [math([T]_{\beta}^{\beta})]를 의미하며, 표준순서기저(standard ordered basis)에 대한 행렬표현은 기저를 생략하여 [math([T])]라고 쓴다.


3. 실수체에서의 행렬표현[편집]

n차원 실수체 [math(\mathbb{R}^n)] 위에서의 선형 변환 [math(D : (x_1, x_2, ..., x_n) \mapsto (a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n, a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n, ..., a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n))]에 대한 행렬표현은 표준순서기저를 가정하고 기저를 생략할 때 다음과 같다.
[math([D]=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math([D]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n \\ ... \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n \end{pmatrix})]

위와 같이, 변환되기 전의 벡터에 행렬표현을 곱하면 그 행렬표현이 나타내는 선형 변환에 의해 그 벡터가 변환된 후의 벡터가 되므로, 행렬표현은 일종의 함수 역할을 한다고 할 수 있다.

n차원 실수체 [math(\mathbb{R}^n)] 위의 벡터를 m차원 실수체 [math(\mathbb{R}^m)] 위의 벡터로 변환하는, 즉 서로 다른 차원의 실수체 간에 변환하는 선형 변환 [math(D : (x_1, x_2, ..., x_n) \mapsto (a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n, a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n, ..., a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n))]의 행렬도 마찬가지로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math([D]=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix})]
이때 옮겨지기 전의 벡터는 [math(n\times1)] 행렬이고 선형변환의 행렬표현은 [math(m\times n)] 행렬이므로, 이 둘을 곱해서 얻어지는 변환된 벡터는 [math(m\times1)] 행렬, 즉 m차원 실수체 위의 벡터이다.

4. 예[편집]

실수체 [math(\mathbb{R})] 위의 [math(n)]차 이하의 다항식 집합 [math(\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}))]에 주어진 선형변환 [math(D : \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \mapsto \sum_{i=0}^{n} i a_{i} x^{i-1})]을 미분연산자라 한다. [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,x,\cdots,x^{n}\})]에 대한 행렬표현은
[math([D]_{\beta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0& 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0& 0& 0 & \cdots & 0& n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0& 0 \end{pmatrix})]
이다.

예를 들어 3차 다항식의 경우 [math(D : a_0+a_1x+a_2x^2 \mapsto a_1+2a_2x)]이므로 [math(D)]의 순서기저 [math(\beta=\{1,x,x^2\})]에 대한 행렬표현은
[math([D]_{\beta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix})]
이고 이때 다음이 성립한다.
[math([D]_{\beta}\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_2 \\ 0 \end{pmatrix})]

n차원 실수체 [math(\mathbb{R}^n)] 위에서의 선형 변환을 예로 들면 다음과 같다. 3차원 실수체 [math(\mathbb{R}^3)] 위에서의 선형 변환 [math(D : (x, y, z) \mapsto (x+y, 2x-z, x-y+z))]에 대한 행렬표현은 다음과 같다.
[math([D]=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math([D]_{\beta}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ 2x-z \\ x-y+z \end{pmatrix})]

n차원에서의 항등변환의 행렬표현은 n차 항등행렬이다.


5. 기하학에서의 행렬표현[편집]

기하학에서 점이나 도형을 이동시키는 선형 변환을 나타내기 위해 행렬표현이 자주 사용된다.

5.1. 평면기하 (2차원)[편집]

평면은 2차원이므로 2차원 실수체 [math(\mathbb{R}^2)] 위에서의 선형 변환이다. 기하와 벡터(2007)의 1단원 '일차변환과 행렬'에서 이 부분에 대해 다룬다.

  • 항등변환 [math((x, y) \mapsto (x, y))]에 대한 행렬표현은 항등행렬 [math(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • 도형을 원점을 중심으로 k배 확대하는 선형변환 [math((x, y) \mapsto (kx, ky))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix})]이다.
  • 도형을 원점을 중심으로 x축 방향으로 [math(k_x)]배, y축 방향으로 [math(k_y)]배 확대하는 선형변환 [math((x, y) \mapsto (k_xx, k_yy))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y\end{pmatrix})]이다.
  • x축 대칭변환 [math((x, y) \mapsto (x, -y))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})]이다.
  • y축 대칭변환 [math((x, y) \mapsto (-x, y))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • 원점 대칭변환 [math((x, y) \mapsto (-x, -y))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})]이다.
  • y=x에 대한 대칭변환 [math((x, y) \mapsto (y, x))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이다.
  • y=-x에 대한 대칭변환 [math((x, y) \mapsto (-y, -x))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix})]이다.
  • y=mx에 대한 대칭변환에 대한 행렬표현은 [math(\displaystyle\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]이다.[1]
  • 원점을 지나고 x축의 양의 방향과 [math(\theta)]의 각을 이루는 직선에 대한 대칭변환에 대한 행렬표현은 y=mx에 대한 대칭변환의 행렬표현에서 [math(m=\tan\theta)]를 이용하여 변형하면 되므로 [math(\begin{pmatrix} \cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix})]이다.
  • 원점을 기준으로 반시계 방향으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환 [math((x, y) \mapsto (x\cos\theta-y\sin\theta, x\sin\theta+y\cos\theta))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix})]이다. 각도에 따른 회전변환의 행렬표현은 다음과 같다.
    • 90도 : [math(\begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})]
    • 180도 (원점 대칭변환) : [math(\begin{pmatrix} \cos\pi & -\sin\pi \\ \sin\pi & \cos\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix})]
    • 270도 : [math(\begin{pmatrix} \cos\frac{3\pi}{2} & -\sin\frac{3\pi}{2} \\ \sin\frac{3\pi}{2} & \cos\frac{3\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix})]


5.2. 공간기하 (3차원)[편집]

3차원 공간이므로 [math(\mathbb{R}^3)] 위에서의 선형 변환이다.
  • 항등변환 [math((x, y, z) \mapsto (x, y, z))]에 대한 행렬표현은 항등행렬 [math(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • 도형을 원점을 중심으로 k배 확대하는 선형변환 [math((x, y, z) \mapsto (kx, ky, kz))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k\end{pmatrix})]이다.
  • 도형을 원점을 중심으로 x축 방향으로 [math(k_x)]배, y축 방향으로 [math(k_y)]배, z축 방향으로 [math(k_z)]배 확대하는 선형변환 [math((x, y, z) \mapsto (k_xx, k_yy, k_zz))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} k_x & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 \\ 0 & 0 & k_z\end{pmatrix})]이다.
  • xy평면, yz평면, zx평면에 대한 대칭변환은 항등변환에서 평면의 이름에 없는 변수의 부호를 바꿔 주면 된다.
    • xy평면, yz평면, zx평면 대칭변환은 각각 [math((x, y, z) \mapsto (x, y, -z))], [math((x, y, z) \mapsto (-x, y, z))], [math((x, y, z) \mapsto (x, -y, z))]이고, 이들에 대한 행렬표현은 각각 [math(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix})], [math(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})], [math(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • x축, y축, z축에 대한 대칭변환은 항등변환에서 축의 이름에 있는 변수를 제외한 나머지 변수들의 부호를 바꿔 주면 된다.
    • x축, y축, z축 대칭변환은 각각 [math((x, y, z) \mapsto (x, -y, -z))], [math((x, y, z) \mapsto (-x, y, -z))], [math((x, y, z) \mapsto (-x, -y, z))]이고, 이들에 대한 행렬표현은 각각 [math(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix})], [math(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix})], [math(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • 원점 대칭변환 [math((x, y, z) \mapsto (-x, -y, -z))]에 대한 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix})]이다.
  • 항공기의 조종을 설명할 때 많이 쓰이는 요(yaw), 피치(pitch), 롤(roll)에 대한 행렬표현 [math(Y, P, R)]은 각각 다음과 같다.
    • xy평면 회전변환 [math(Y = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]
    • xz평면 회전변환 [math(P = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{pmatrix})]
    • yz평면 회전변환 [math(R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix})]

5.3. 성질[편집]

  • 특정 축의 좌표값을 유지한 채로 다른 축의 좌표값을 바꾸려면, 행렬표현에서 행과 열이 모두 값을 유지하려는 축에 해당하는 성분은 1, 행과 열 중 하나만 그 축에 해당하는 성분은 0으로 하고, 값을 바꾸려는 축들에 대한 변환의 행렬표현을 그대로 사용하면 된다.
    • 예를 들어 좌표공간에서 어떤 점의 z좌표는 유지한 채로 xy평면을 따라서 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})][2]이다. 여기서 1, 2행 1, 2열은 x, y축과 관련된 성분이고, xy평면을 따라서 회전을 시키는 것이므로 회전변환의 행렬표현인 [math(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix})]를 그대로 사용하고, 3행 3열은 행(3)과 열(3)이 모두 값을 유지하려는 z축을 가리키므로 1, 나머지 3행 1, 2열과 1, 2행 3열은 행과 열 중 하나만 z축을 가리키므로 0이 된다.
  • [math(\mathbb{R}^n)] 위에서, 즉 n차원 좌표공간에서 모든 좌표축에 대해 수직이거나 그것을 포함하는 m차원 도형에 대한 대칭변환에 대한 행렬표현은 n차원 항등행렬에서 (n-m)개의 1인 성분을 -1로 바꾼 것이다. 예를 들어 3차원 좌표공간에서 xy평면, 즉 2차원 도형에 대한 대칭변환의 행렬표현은 3-2=1개의 1인 성분을 -1로 바꾼 것이다.


6. 합성변환의 행렬표현[편집]

선형 변환 [math(f, g)]를 나타내는 행렬표현이 각각 [math(F, G)]일 때, 합성변환 [math(f \circ g)]의 행렬표현은 행렬의 곱 [math(FG)]이다. 예를 들어 [math(f)]를 y축에 대한 대칭변환, [math(g)]를 원점 기준으로의 45º 회전변환이라고 할 때, 합성변환 [math(f \circ g)]의 행렬표현은 다음과 같다.
[math(FG = \begin{pmatrix} \cos45º & -\sin45º \\ \sin45º & \cos45º\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix})]
[math(f \circ g)]에 의해 점 [math((2, 0))]은 점 [math((-\sqrt 2, -\sqrt 2))]로 옮겨지고, 이는 합성변환의 행렬표현 [math(FG)]을 통해서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(FG\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt 2 \\ -\sqrt 2\end{pmatrix})]

합성변환의 행렬표현이 합성변환을 이루는 각 변환의 행렬표현의 곱과 같다는 점에서 다음을 추론할 수 있다.
  • 2차원 평면에서의 원점 기준으로의 회전변환 관련
    • [math(\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix})][3]
    • [math(\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} \cos k\alpha & -\sin k\alpha \\ \sin k\alpha & \cos k\alpha\end{pmatrix})]
    • [math(\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}^{2n\pi/\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})] (단, n은 정수, [math(\frac{2\pi}{\alpha})]는 정수)
  • 2차원 평면에서의 y=mx에 대한 대칭변환 관련[A]
    • y=mx에 대한 대칭변환 [math(\displaystyle A = \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^{2n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})] (단, n은 정수)

7. 역변환의 행렬표현[편집]

선형 변환 [math(f)]를 나타내는 행렬표현이 각각 [math(F)]일 때, 역변환 [math(f^{-1})]의 행렬표현은 역행렬 [math(F^{-1})]이다. 예를 들어 [math(f)]를 원점 기준으로의 90º 회전변환이라고 할 때 다음과 같다.
  • [math(F = \begin{pmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, F^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix})]
이때 [math(F^{-1})]은 -90º 회전변환의 행렬표현과 같다.

이때, [math(f)]에 의해 점 [math((1, 2))]는 점 [math((-2, 1))]로 옮겨지고, [math(f^{-1})]에 의해 점 [math((-2, 1))]는 반대로 점 [math((1, 2))]로 옮겨지는데, 이것을 각각 행렬표현을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
  • [math(F\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix})]
  • [math(F^{-1}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix})]

역변환의 행렬표현이 그 변환의 행렬표현의 역행렬과 같다는 점에서 다음을 추론할 수 있다.
  • 2차원 평면에서의 원점 기준으로의 회전변환 관련
    • [math(\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix})]
  • 2차원 평면에서의 y=mx에 대한 대칭변환 관련[A]
    • y=mx에 대한 대칭변환 [math(\displaystyle A = \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]일 때, [math(A^{-1} = A)]

어떤 선형변환의 행렬표현의 역행렬이 존재하지 않는 경우, 역변환의 행렬표현이 존재하지 않는다는 의미이므로 역변환도 존재하지 않는다.

8. 선형대수학의 기본정리[편집]

체 [math(F)]위의 [math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]와 [math(m)]차원 벡터공간 [math(W)]에 대하여, [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 임의의 선형변환을 모은 집합을 [math(\mathfrak{L}(V,W))]이라 하자. 또한, 성분이 [math(F)]의 원소인 [math(m\times n)] 행렬을 모은 집합을 [math(\mathfrak{M}_{m,n}(F))]이라 하자. [math(V)]와 [math(W)]의 기저 [math(\beta_{V})]와 [math(\beta_{W})]가 주어졌을 때, 함수 [math(f:T\mapsto [T]_{\beta_{V}}^{\beta_{W}})]는 [math(\mathfrak{L}(V,W))]에서 [math(\mathfrak{M}_{m,n}(F))]으로 가는 동형사상[4]이다. 즉, [math(\mathfrak{L}(V,W))]와 [math(\mathfrak{M}_{m,n}(F))]의 대수적인 구조가 같다고 볼수 있는데, 이를 선형대수학의 기본정리라고 한다.


9. 기저변환행렬[편집]

[math(n)]차원 벡터공간 [math(V)]의 임의의 두 기저 [math(\beta=\{\beta_{1},\cdots,\beta_{n}\})]과 [math(\beta^{\prime}=\{\beta_{1}^{\prime},\cdots,\beta_{n}^{\prime}\})]에 대하여, 행렬 [math(P)]를
[math( P=\begin{pmatrix} [\beta_{1}]_{\beta^{\prime}} & [\beta_{2}]_{\beta^{\prime}} & \cdots&[\beta_{n}]_{\beta^{\prime}}\end{pmatrix})]
라 정의했을 때, [math(P[v]_{\beta}=[v]_{\beta^{\prime}})]이 성립한다. 즉, 선형변환 [math(Y=PX)]는 [math(v)]의 [math(\beta)]에 대한 좌표를 [math(\beta^\prime)]에 대한 좌표로 바꿔주는 선형변환으로 이해할 수 있다. 이러한 행렬 [math(P)]를 기저변환행렬, 좌표변환행렬 또는 추이행렬 등으로 부른다. 또한 기저변환행렬은 항등변환 [math(I)]의 행렬표현 [math([I]_{\beta}^{\beta^{\prime}})]이다.


10. 동차 좌표계[편집]

동차 좌표계는 [math(\mathbb{R}^2)] 위의 벡터와 1을 [math(\mathbb{R}^3)]에 대응시킨 것으로, 이것을 이용해서 [math(\mathbb{R}^2)]에서의 이동 변환을 [math(\mathbb{R}^3)]에서의 선형 변환의 형태로 나타내는 등으로 응용할 수 있다.

[math(\mathbb{R}^2)]에서의 선형 변환 [math(T_2)]의 행렬표현을 [math(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix})]라고 하고, 도형의 이동 변환을 [math(T_M : (x, y) \mapsto (x+x_1, y+y_1))]라고 할 때, 행렬표현이 [math(\begin{pmatrix} a & b & x_1 \\ c & d & y_1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]인 선형 변환 [math(T_3)]에 의해서 이 도형은 [math(T_2)]에 의해 이동된 후 x축 방향으로 [math(x_1)], y축 방향으로 [math(y_1)]만큼 평행이동된다. 이때 도형이 점인 경우, 그 좌표를 [math((x, y)^T)]가 아니라 [math((x, y, 1)^T)]과 같이 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\begin{pmatrix} a & b & x_1 \\ c & d & y_1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by+x_1 \\ cx+dy+y_1 \\ 1\end{pmatrix})]

예를 들어 [math(T_2)]가 60º 회전변환으로 행렬표현이 [math(\begin{pmatrix} \cos 60º & -\sin 60º \\ \sin 60º & \cos 60º\end{pmatrix})]이고 이동 변환이 [math(T_M : (x, y) \mapsto (x+2, y+4))]일 때, [math(T_3)]의 행렬표현은 [math(\begin{pmatrix} \cos 60º & -\sin 60º & 2 \\ \sin 60º & \cos 60º & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix})]이고, 이것에 의해서 점 [math((2, 0))]는 다음과 같이 점 [math((3, 4+\sqrt 3))]으로 옮겨진다.

[math(\begin{pmatrix} \cos 60º & -\sin 60º & 2 \\ \sin 60º & \cos 60º & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4+\sqrt 3 \\ 1\end{pmatrix})]

11. 행렬의 닮음[편집]

두 정사각행렬 [math(A)], [math(B)]에 대하여, [math(P^{-1}AP=B)]를 만족하는 가역행렬 [math(P)]가 존재하면 두 행렬이 닮았다고 한다. [math(n)]차 정사각행렬 [math(A)]에 대하여 선형변환 [math(L_{A}:F^{n}\to F^{n})]을
[math(L_{A}(X)=AX)]
라고 하자. 그러면, [math(F^{n})]의 표준순서기저에 대한 좌표를 임의의 기저 [math(\beta)]에 대한 좌표로 바꾸는 기저변환행렬 [math(P)]가 존재하여, 임의의 [math(X \in F^{n})]에 대해
[math(P^{-1}[L_{A}]_{\beta}PX=AX)]
를 만족함을 알 수 있다. 즉, [math(P^{-1}[L_{A}]_{\beta}P=A)]가 성립한다. 또한, 닮은 행렬이란 어떤 선형변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬표현임을 알 수 있다. 이를 이용하여, 행렬에 정의되는 여러 대상들이 닮음불변량인 경우, 선형변환에 그대로 정의할 수 있다. 예를들어 선형변환의 대각합이란
[math(\text{tr}T=\text{tr}[T]_{\beta})]
으로 정의할 수 있다. 이렇게 정의하여도 문제되지 않는 이유는, 대각합이 닮음불변량이기 때문에, 서로 다른 기저에 대한 [math(T)]의 행렬표현이 같은 대각합을 갖기 때문이다.
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[1] 옮겨지기 전의 점 [math(P)]와 옮겨진 후의 점 [math(P')]에 대해 [math(\overline{PP'})]의 중점이 y=mx 위에 있고, [math(\overline{PP'})]가 y=mx와 수직임을 이용하면 된다.[2] 1, 2, 3행과 1, 2, 3열이 각각 x, y, z축을 가리킨다.[3] 이 식의 좌변을 직접 계산한 다음 우변과 비교하여 삼각함수의 덧셈정리를 유도할 수 있다.[A] A B x축, y축, y=x 등에 대한 대칭변환 등을 의미한다. 단 y축 대칭변환의 경우 m이 정의되지 않는다.[4] 더 정확히는 덧셈과 스칼라배가 보존되는 [math(F)]-module isomorphism이며, [math(V=W)]일 때는 추가로 곱셈도 보존되어 [math(F)]-algebra isomorphism이 된다. 여기서 선형변환의 곱셈이란, 선형변환의 합성을 뜻한다.

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