역온도

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분류

열 · 통계역학
Thermal · Statistical Mechanics

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1. 개요
2. 정의
2.1. 유도
3. 의의
4. 관련 문서



1. 개요[편집]

역온도(逆溫度; inverse temperature) 또는 열역학 베타(thermodynamic beta)는 통계역학에서 쓰이는 물리량으로 온도와 반비례 관계에 있다는 특징으로 인해 냉도(coldness)라고도 한다. '열역학 베타'라는 명칭에서 알 수 있듯이 기호로는 [math(\beta)]로 나타내며, '역온도'나 '냉도'라는 명칭과는 달리 에너지(= 일)의 역수 차원(즉 단위가 [math(\rm J^{-1} = kg^{-1}m^{-2}s^2)])을 갖는다. 이론상으로만 예견됐던 '음의 절대온도'가 2013년 실험적으로 구현됨으로써 현재 보편적으로 쓰이고 있는 절대온도보다 더 근본적인 물리량이라 해석하는 학자도 있다(후술).


2. 정의[편집]

역온도 [math(\beta)]는 볼츠만 상수를 [math(k_{\rm B})]로 나타냈을 때 절대온도 [math(T)]를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
[math(\beta=\dfrac1{k_{\rm B}T})]

이에 따라, 차원은 [math(\sf M^{-1} L^{-2} T^2)]이 된다.

2.1. 유도[편집]

통계역학적으로 [math(\beta)]는 미시상태(microstate)의 수 [math(\Omega)]가 주어진 거시계(macroscopic system)의 평형에 관련된 물리량으로서 정의된다.

미시상태의 수가 각각 [math(\Omega_1)], [math(\Omega_2)]인 두 계 1, 2사이에 열접촉이 있다고 가정하자. 각 [math(\Omega_i)]는 각 계의 에너지 [math(E_i)]에만 의존하는 상태함수이며 [math(E_1)]과 [math(E_2)]의 총량은 [math(E)]로 일정([math(E_1 + E_2 = E)])하다고 하자. 열접촉이 있는 두 계의 총 상태수 [math(\Omega(E) = \Omega(E_1+E_2))]는 각 상태수의 곱과 같으므로 다음 등식이 성립한다.
[math(\begin{aligned}\Omega(E) &= \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2)\\ &= \Omega_1(E_1)\Omega_2(E-E_1)\end{aligned})]
평형 상태에 도달하게 되면 [math(\Omega)]의 변화량은 0이므로 예를 들어 양변을 [math(E_1)]으로 (편)미분하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{\partial\Omega(E)}{\partial E_1} &= \Omega_2(E_2)\dfrac{\partial\Omega_1(E_1)}{\partial E_1} + \Omega_1(E_1)\dfrac{\partial\Omega_2(E_2)}{\partial E_2}{\cdot}\dfrac{\partial(E-E_1)}{\partial E_1} \\ &= \Omega_2(E_2)\dfrac{\partial\Omega_1(E_1)}{\partial E_1} - \Omega_1(E_1)\dfrac{\partial\Omega_2(E_2)}{\partial E_2} = 0\end{aligned})]
따라서
[math(\Omega_2(E_2)\dfrac{\partial\Omega_1(E_1)}{\partial E_1} = \Omega_1(E_1)\dfrac{\partial\Omega_2(E_2)}{\partial E_2})]
이고 양변을 [math(\Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2))]로 나누면
[math(\begin{aligned} \dfrac1{\partial E_1}\dfrac{\partial\Omega_1(E_1)}{\Omega_1(E_1)} &= \dfrac1{\partial E_2}\dfrac{\partial\Omega_2(E_2)}{\Omega_2(E_2)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{\partial\ln\Omega_1(E_1)}{\partial E_1} &= \dfrac{\partial\ln\Omega_2(E_2)}{\partial E_2} \end{aligned})]
이 얻어지므로 각 계의 편미분식을 [math(\beta)]로 정의하자.
[math(\beta = \dfrac{\partial\ln\Omega}{\partial E})]

이때, 통계역학에서 엔트로피 [math(S)]는 볼츠만 상수 [math(k_{\rm B})]를 이용하여 [math(S = k_{\rm B}\ln\Omega)]로 정의되므로 이를 이용하면
[math(\beta = \dfrac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = \dfrac1{k_{\rm B}}\dfrac{\partial S}{\partial E})]
로 나타낼 수 있고 열역학에서의 엔트로피는 [math({\rm d}S = \dfrac{\delta Q_{\rm rev}}T)]였으므로 [math(E = Q_{\rm rev})]라 하면 최종적으로
[math(\beta = \dfrac1{k_{\rm B}}\dfrac{\partial S}{\partial E} = \dfrac1{k_{\rm B}T})]
가 얻어진다.


3. 의의[편집]

2013년 양자 기체를 이용하여 음의 절대온도 상태를 구현한 연구에서, '음의 절대온도'라는 용어에서 느껴지는 이미지와는 달리 해당 물질이 실제로는 매우 뜨거운 온도라는 것을 이 역온도 [math(\beta)]로 설명할 수 있다. 우선 실험에 쓰인 고립계의 특징에 대해 짚고 넘어가야하는데, 높은 에너지 준위 수의 상한선이 존재하지 않는 일반적인 계와는 달리, 해당 계는 상한선이 존재하는 계이기 때문에 엔트로피의 최댓값이 존재한다. 해당 실험에서 마이너스 켈빈 상태를 만들기 위해선 먼저 계에 외부 에너지를 과공급하여 엔트로피가 포화된 상태에 도달하게 만드는데 절대온도로 비유하면 [math(T=\infty\rm\,K)]와 같다. 이윽고 해당 계가 가질 수 있는 엔트로피의 최댓값을 넘어선 에너지가 공급되면 계의 에너지는 증가하는데 엔트로피는 감소하는 단계, 즉 [math(\dfrac{\partial E}{\partial S} <0\rm\,K)]인 영역에 접어들게 된다.[1] [math(\dfrac{\partial E}{\partial S} = \dfrac1{\beta k_{\rm B}} = T)]이므로 절대온도 관점에서는 음의 절대온도가 된 것과 같으며 이 영역에서는 절대온도 수치의 절댓값이 큰 구간에선 엔트로피 변화가 작고 절대온도 수치의 절댓값이 작은 구간에선 엔트로피의 변화가 큰 양상을 보인다. 계의 에너지에 따라 이를 순서대로 나열하면 다음과 같이 되는데
[math(T/{\rm K}: \rm +0 \rightarrow \pm \infty \rightarrow -0)]
이를 역온도로 환산하면 다음과 같이 선형적인 관계가 되며 절대온도에 비해 훨씬 직관적임을 알 수 있다.
[math(\beta\,{\rm J}: +\infty \rightarrow 0\ \rightarrow -\infty)]
또한 절대영도는 역온도에서 그 수치가 [math(+\infty)]이기 때문에 열역학 제3법칙에 의해 절대영도를 구현할 수 없다는 것 역시 직관적으로 와닿으며 역온도를 열역학적 온도의 엄격한 정의(rigorous definition)라고 보는 해석이 있다.


4. 관련 문서[편집]



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[1] 갑자기 '엔트로피가 감소한다'는 게 잘 와닿지 않을 수 있는데 해당 계는 에너지 준위에 상한이 존재하여 그 이상으로 무질서해지지 않고 과반 이상의 원자가 높은 에너지 준위 상태를 취함으로써 높은 에너지 쪽으로 정렬된 것과 같은 상태가 되기 때문에 엔트로피 관점에서는 감소한 것이 된다. 직관적으론 낮은 에너지 준위 상태의 비율이 많은 볼츠만 분포가 역전된 상태라고 보면 된다.

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