르장드르 변환

1. 개요[편집]

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Transformation de Legendre / Legendre 變換

아드리앵마리 르장드르가 만든 수학적인 변환으로, 여러 독립변수로 표현되는 양을 다른 변수로 표현하기 위해 사용하는 방법이다.

대표적인 사례는 라그랑지안 [math(\mathscr{L})]과 해밀토니안 [math(\mathcal{H})]의 관계, 열역학적 기본에너지 4개 사이의 관계이다. 라그랑지안과 해밀토니안은 서로가 르장드르 변환으로 대응되는 쌍으로, 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 오갈 수 있는 일종의 도구로 사용할 수도 있다. 그리고 열역학에서는 열역학적 기본 에너지 4개 사이의 변환에 사용된다. 자세한 사례는 하단 참고.

2. 상세[편집]

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함수 [math(y=f(x))] 위의 임의의 점에서 접선을 그었을 때의 기울기를 [math(f_x)], [math(y)]절편을 [math(\psi)] 라 할때

[math(f_x = \dfrac{y-\psi}{x-0})]

이므로 [math(\psi = y - f_x x)]로 나타낼 수 있는데, 이 [math(\psi)]를 [math(y)]의 [math(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x})] 에 대한 르장드르 변환이라고 하며, [math(\psi=y[f_x])]로도 나타낸다. 이때 미분계수와 [math(y)] 절편의 집합은 [math(x)], [math(y)]로 이루어진 함수와 완전히 동등한 집합으로 대응된다.

두 변수에 대한 열역학적 변환은 [math(\psi = z[f_x,f_y] = z - f_x x - f_y y )]로 나타낼 수 있다.

2차원의 경우, 조금 더 직관적으로 표현할 수도 있다. [math(x)], [math(y)]축으로 이루어진 평면에 어떤 함수의 그래프가 있고 어떤 물리량 [math(A)]를 이 함수를 [math(x)]에 대해 적분한 결과, 다시 말해 [math(x)]축과 그래프 사이의 넓이라고 정의하자. 한편으로는 [math(y)]축과 그래프 사이의 넓이([math(y)]에 대해 적분한 결과)에 대응하는 물리량 [math(B)]도 정의될 수 있을 것이다. 이때 [math(A)]와 [math(B)]를 연결하는 변환이 르장드르 변환인 셈이다.

3. 열역학[편집]

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온도와 압력은 각각 내부 에너지 [math(U)]의 편미분으로 나타난다.

[math(T = \left( \dfrac{\partial U}{\partial S} \right)_V)]
[math(P = -\left( \dfrac{\partial U}{\partial V} \right)_S )]

따라서 르장드르 변환을 진행하면 내부에너지 [math(U)]로 부터
[math(U[P] = U+PV \equiv H )]
[math(U[T] = U-TS \equiv A )]
[math(U[T,P] = U+PV-TS \equiv G )]
로 나머지 기본 에너지 식 3개[1]를 유도할 수 있다. 따라서 각 기본 에너지들이 가지고 있는 정보는 내부 에너지 [math(U)]와 동등하다.