우리손 보조정리

1. 개요[편집]

---

Urysohn's lemma
위상 공간 속에 연속함수가 주어졌을 때, 해당 공간이 정규공간일 필요충분조건을 기술한 보조정리다. 우리손 거리화정리와 비슷하게, '우리 손'의 보조정리라는 뜻이 아니라 고안자인 파벨 우리손(Па́вел Самуи́лович Урысо́н)의 이름을 따온 정리다.

[math(\left(X, \mathcal{T}\right))]가 정규공간 [math(\iff)] 서로소인 닫힌 집합 [math(E, F \subset X)]가 존재할 때, 다음 조건을 만족하는 연속함수 [math(f:X\to\left[0,1\right])]가 존재한다.

* [math(f(E)\subset\{0\}, f(F)\subset\{1\})]

2. 증명[편집]

---

2.1. (→)[편집]

---

위상공간 [math(X)]가 정규공간이라고 하자. [math(E, F)]가 서로소이므로 [math(E\subset F^{c})]이며, [math(F)]가 닫힌 집합이므로 [math(F^{c})]는 위상 [math(\mathcal{T})]에서 주어진 열린집합이다.

이 때, 분리공리의 정규 성질의 따름정리에 의해, [math(E)]의 적절한 열린근방 [math(U_{1/2})]가 존재하여, 다음이 성립한다.

정규 성질의 따름정리

정규 공간임은 다음과 동치다.

임의의 닫힌 집합 [math(F)]와 [math(F\subset U)]인 임의의 열린집합 [math(U)]에 대하여 [math(F\subset V\subset \overline{V}\subset U)]를 만족하는 열린집합 [math(V)]가 존재한다.

[math(E\subset U_{\frac{1}{2}}\subset \overline{U_{\frac{1}{2}}}\subset F^{c})]

그런데 [math(U_{\frac{1}{2}})]의 폐포 [math(\overline{U_{\frac{1}{2}}})]는 닫힌 집합이므로 위의 논리를 반복 적용할 수 있다.
즉, 다음이 성립하는 집합열을 만들 수 있다.

[math(U_{1-\frac{1}{2^{n}}}\subset U_{1-\frac{1}{2^{n+1}}})]

여기서, [math(X)]를 [math(U_{1})]이라고 하자.

이를 반복하면 [math(\displaystyle \begin{aligned}D&=\left\{\frac{k}{2^n}\middle|n, k \in \mathbb{N}, 1\leq k \leq 2^{n}-1\right\}\\&=\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \cdots, \frac{15}{16}, \cdots \right\}\end{aligned})]
를 얻을 수 있다. 그런데 [math(D)]는 [math(\left(\left[0, 1\right], \mathcal{U}_{\left[0,1\right]}\right))]에서 조밀한 부분집합이므로 각각의 [math(r \in D)]에 대하여 다음을 만족하는 열린집합 [math(U_r)]이 존재하게 된다.

(a) [math(r, s \in D, r<s)]라면 [math(\overline{U_{r}}\subset U_s)]

(b) 모든 [math(r \in D)]에 대하여 [math(E \subset \overline{U_{r}}\subset F^{c})]

이제 이를 기반으로 함수 [math(f:X\to\left[0,1\right])]를 다음과 같이 정의하자.

(1) 모든 [math(r \in D)]에 대하여 [math(x \in U_r)]이라면 [math(f(x)=0)]으로, 만약 [math(x \notin U_r)]인 [math(r \in D)]가 존재한다면 [math(f(x)=\sup\{r|x\in U_r\})]. 즉

[math(f(x)=\begin{cases} 0, x \in U_{r}&, \forall r \in D\\ \sup\{r\in D|x\notin U_{r}\}&, \textrm{그 외의 경우}\end{cases})]

그러면 [math(f)]는 [math(E\notin\emptyset\notin F)]일 때 [math(f(E)\subset\left[0, 1\right], f(E)=\{0\}, f(F)=\{1\})]임이 명백하다.

(2) 이제 이 함수 [math(f)]가 연속임을 보이자. 즉, 임의의 점 [math(p \in X)]에서 연속임을 보이자.

(2-1) 먼저 [math(0 < f(p) < 1)]인 경우를 생각하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(f(p)-\epsilon<r<f(p)<s<f(p)+\epsilon)] ||

를 만족하는 [math(r, s\in D)]를 택하고, [math(r<t<f(p))]를 만족하는 [math(t\in D)]를 택하면 [math(p \notin U_t)]가 된다.[1]

이에 대한 증명은 귀류법을 이용한다. [math(p \in U_t)]라고 가정하면 위의 (a)에 의해 [math(\forall u\geq t)]에 대하여 [math(p \in U_u)]가 되는데, 그러면 [math(p \in U_u)]이면 [math(u<t)]가 되어야 한다. 문제는 이렇게 되면 [math(f(p)\leq t)]가 되어야 하지만, [math(t<f(p))]인 [math(t \in D)]를 골랐으므로 모순이다. 따라서 전제인 [math(p \in U_t)]라고 가정한 것이 틀렸다는 것이 되므로 [math(p \notin U_t)]가 된다.

또한 [math(\overline{U_r}\subset U_t)]이므로 [math(p \notin \overline{U_r})]이 된다. 따라서 [math(W=U_s - \overline{U_r})]은 [math(p)]의 열린근방으로서

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(p \in W \subset f^{-1}(f(p)-\epsilon, f(p)+\epsilon))] ||

을 만족한다[2]

[math(x \in W)]이면 [math(r \leq f(x) \leq s)]이므로 [math(|f(x)-f(p)|<\epsilon)]이기 때문.

. 따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이다.

(2-2) 이제 [math(f(p)=1)]인 경우를 생각하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(p \in W \subset f^{-1}(\left(f(p)-\epsilon, 1\right]))] ||

을 만족하는 열린집합 [math(W)]가 존재함을 보이면 충분하다. 먼저

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(f(p)-\epsilon=1-\epsilon<r<1=f(p))] ||

를 만족하는 [math(r\in D)]를 택한 뒤, [math(r<t<1)]인 [math(t \in D)]를 택하자.

그러면 [math(p \in U_t)]이며 [math(\overline{U_r}\subset U_t)]이므로 [math(p \notin \overline{U_r})]이다. 이제 [math(W=\left(\overline{U_r}\right)^{c}=X-\overline{U_r})]이라 하면 [math(W)]는 [math(p)]의 열린근방이며

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(p \in W \subset f^{-1}\left(\left(1-\epsilon, 1\right]\right)=f^{-1}\left(\left(f(p)-\epsilon, 1\right]\right))] ||

을 만족한다. 따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이다.

(2-3) 마지막으로 [math(f(p)=0)]인 경우를 생각하자. 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(f(p)=0<s<\epsilon=f(p)+\epsilon)] ||

을 만족하는 [math(s\in D)]를 택하자. 그러면 [math(U_s)]는 [math(p)]의 열린근방으로서

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(p\in U_{s}\subset f^{-1}\left(\left[0, \epsilon\right)\right)=f^{-1}\left(\left[0, f(p)+\epsilon\right)\right))] ||

을 만족한다. 따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이다.

(2-1), (2-2), (2-3)에서 [math(f(p) \in \left(0, 1\right), f(p)=1, f(p)=0)]인 경우 모두에 대하여 연속임을 보였으므로, [math(f)]는 [math(\left[0,1\right])]에서 연속이다.

2.2. (←)[편집]

---

[math(X)]에서 서로소인 임의의 두 닫힌집합 [math(E, F)]를 선택할 때, 둘 중 하나가 공집합이면 [math(E, F)]를 각각 포함하는 서로소인 열린근방 [math(U, V)]가 존재함은 명백하다. 그러므로 [math(E\neq \emptyset \neq F)]인 경우를 보자.

가정에 따라 어떤 연속함수

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(f:X\to\left[0,1\right])] ||

가 존재하여 [math(f(E)=\{0\}, f(F)=\{1\})]이다.

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(U=\left\{x \in X\middle|f(x)<\alpha\right\}, V=\left\{x \in X\middle|f(x)>\beta\right\})] ||

라고 두자.(단, [math(0<\alpha<\beta<1)])

그러면 [math(U=f^{-1}\left(\left[0, \alpha\right)\right), V=f^{-1}\left(\left(\beta, 1\right]\right))]이며 [math(f)]가 연속함수이므로 [math(U, V)]는 [math(X)]에서 열린집합이다.

또한 [math(E \subset U, F\subset V)]이며 [math(U\cap V=\emptyset)]이므로 정규 성질 역시 만족하고, 따라서 공간 [math(\left(X, \mathcal{T}\right))]은 정규공간이다.