후르비츠 제타 함수
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1. 개요[편집]
Hurwitz zeta function
후르비츠 제타 함수는 제타 함수의 일반화 중 하나로, 1882년 독일의 수학자 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)가 제안하였다. 이 함수는 [math(\textrm{Re}(s)> 1)]에서 다음과 같이 정의된다.
이 함수는 절대수렴하며, [math(s=1)]를 제외한 부분에서 유리형 함수로 해석적 확장을 할 수 있다.
2. 성질[편집]
[math({\rm Re}(s)> 1)]이고 [math({\rm Re}(a)> 0)]일 때 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle
\zeta(s,a) = \frac1{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}} \,{\rm d}x
)]
유도 방법은 다음과 같다.
위의 적분식에 복소선적분을 사용하면 다음과 같이 해석적 확장을 할 수 있다.
[math(\displaystyle
\zeta(s,a) = -\Gamma(1-s) \frac1{2\pi i} \int_C \frac{(-z)^{s-1}e^{-az}}{1-e^{-x}} \,{\rm d}z
)]
여기서 적분 경로 [math(C)]는 한켈 경로[1] 이다. 또한 [math(s=1)]에서 단순극을 가지고 그 유수는 1이다.
리만 제타함수와 마찬가지로 후르비츠 제타함수에도 함수 방정식이 있다.
이 식은 [math(\textrm{Re}(s)>1)]이고 [math(0<a\leq 1)]일 때 성립한다. [math(a)]가 유리수일 때는 추가로 다음이 성립한다.
또한, 후르비츠 제타함수는 다음 급수로 표현될 수 있다.
또한, 후르비츠 제타함수는 다음을 모두 만족시킨다.
[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial a} \zeta(s,a) &= -s \,\zeta(s+1,a) \\
\biggl. \frac{\partial}{\partial s} \zeta(s,a) \biggr|_{s=0} &= \log \Gamma(a) -\frac12 \log{2\pi}
\end{aligned} \end{cases} )]
[1] 복소평면에서 [math(+\infty)]에서 양의 실수축을 따라 원점에서 반시계 방향으로 돌아 다시 [math(+\infty)]까지 양의 실수축을 따라가는 경로
또한, 감마함수와 관련하여 다음을 만족시킨다.
3. 특수한 값[편집]
[math(n = 0, -1, -2, \cdots)]일 때 다음이 성립한다.
여기서 [math(B)]는 베르누이 다항식이다.
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