망델브로 집합

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1. 개요[편집]

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Mandelbrot 集合

폴란드계 프랑스인 수학자인 브누아 망델브로가 고안한 프랙털의 일종으로, 다음과 같은 점화식으로 표현되는 수열 [math(\{z_n\})]의 절댓값이 무한대로 발산하지 않는 복소수 c의 집합으로 정의된다.

예를 들어 [math(c=1)]이라면 수열 [math(\{z_n\})]은 [math(0, 1, 2, 5, 26,\;...)]이고 [math(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left| z_n \right| = \infty )]이므로 1은 망델브로 집합에 포함되지 않는다. 한편 [math(c=-1)]이라면 [math(\{z_n\})]은 [math(0, -1, 0, -1, 0,\;...)]이고 음이 아닌 모든 정수 [math(n)]에 대해 [math(\left| z_n \right| \leq 1 )]이므로 -1은 망델브로 집합에 포함된다.

이런 c의 집합을 복소평면에 나타내면 위와 같은 도형이 나타난다.

2. 그리기[편집]

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실제로 망델브로 집합을 그릴 때는 무한한 항까지 계산하여 발산 여부를 확인하는 것이 어려우므로 '어떤 [math(n)]에 대해 [math(\left| z_n \right|>2)]일 경우 [math(\{z_n\})]은 발산한다'는 성질을 이용한다. 즉, 수열을 계산하다가 절댓값이 2를 넘는 점을 배제하고 그리면 된다. 이러한 성질을 이용하더라도 집합에 포함되는 점은 무한히 계산해도 발산하지 않기 때문에, 보통 특정한 [math(n)]의 값을 정하고 그 값까지만 계산한다. 물론 [math(n)]이 클수록 완성된 그림의 정확도도 높아진다.

수학적으로는 어떤 점이 망델브로 집합에 포함되거나 포함되지 않거나의 두 가지 경우밖에 없으므로 흑백으로만 그려도 상관은 없지만, 대부분의 경우 처음으로 [math(\left| z_n \right|)]이 [math(2)]를 넘는 [math(n)]의 값에 따라 배경에 색을 칠한다.

3. 하우스도르프 차원[편집]

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망델브로 집합의 경계선의 하우스도르프 차원은 2차원이라는 사실이 증명되어 있다.[2]

4. 여담[편집]

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가수 서태지의 6집 앨범 재킷 디자인에 사용되었다.
가수 노라조의 노래 니팔자야의 뮤직비디오 초반에 위 도형의 프랙털 전개가 나온다. 확대될수록 계산의 한계로 x 축(실수부 축)의 띠 부분이 점점 두꺼워지는데 이 두꺼운 띠 안에 이혁 조빈 콤비가 있는 걸로 본격적인 노래 시작.

고안자의 성씨인 '망델브로(Mandelbrot)'는 아몬드 빵이라는 뜻이다. 이 아몬드 빵과는 관계없다.