우리손 거리화정리
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1. 개요[편집]
Urysohn's metrization theorem
제2가산[1] 정칙공간은 거리화 가능 공간이라는 정리다. 이름이 다소 오해가 있을 수 있는데, '우리 손[手]'이 아니라 소련의 수학자인 파벨 우리손(Па́вел Самуи́лович Урысо́н)의 이름을 따온 것이다.
2. 증명[편집]
증명에는 다음 2단계의 증명과 몇가지 성질이 필요하다.
증명단계
1. 제2가산 정규공간은 거리화 가능 공간이다.
1. 제2가산 정칙공간은 정규공간이다.[2]
필요한 성질
1. 힐베르트 공간은 거리화 가능 공간이다.
1. 우리손 보조정리
1. [math(T_4)] 공간은 정칙공간([math(T_3)] 공간)이며 [math(T_1)] 공간이기도 하다
순서대로 증명해보자.
2.1. 1단계[편집]
제2가산인 정규공간은 거리화 가능 공간이다.
위상공간 [math(X)]를 제2가산 정규공간([math(T_4)]) 공간이라고 가정하자.
정칙 성질이 지닌 따름정리[3]에 의해 각 [math(B_i \in \mathcal{B})]에 대하여 [math(B_j \in \mathcal{B})]가 존재하여 [math(\overline{B_j}\subset B_i)]를 만족하도록 할 수 있다.(1) [math(X)]가 유한집합이라면 [math(X)]는 이산공간이므로 같은 개수의 원소를 갖는 [math((\mathbb{R}^{\infty}, d))]의 부분공간과 위상동형이다.
(2) [math(X)]가 무한집합이라고 하자. 가정에 의해 [math(X)]는 제2가산 정규공간이므로 가산기저
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\mathcal{B}=\{B_1, B_2, \cdots, B_n, \cdots\})](단, [math(B_i\neq X, B_i\neq\emptyset, i \in \mathbb{N})]) ||
가 존재한다.
이 쌍을 [math((B_i, B_j))]라는 튜플로 표기하자. 제2가산공간이므로 이런 튜플은 가산개 존재하기 때문에
각 [math(B_{j_n}, B_{i_n})]에 대하여 [math(\overline{B_{j_n}}\subset B_{i_n})]이므로 [math(\overline{B_{j_n}})]과 [math(B_{i_n}^{c})]는 서로소인 닫힌집합이 된다. [math(X)]가 정규공간이므로 우리손 보조정리에 의해 다음과 같은 연속함수 [math(f_{n})]가 존재한다.
이제 새로운 함수 [math(f)]를 다음과 같이 정의하자.
각 [math(n)]에 대하여 [math(f_{n}(x) \in \left[0, 1\right])]이므로
이제 이 함수 [math(f)]가 단사임을 보이자.
[math(X)] 상에서 서로 다른 두 점 [math(x, y)]를 택하자. [math(X)]는 정규공간이므로 [math(T_1)] 공간이기도 하기에 적당한 [math(B_i \in \mathcal{B})]가 존재하여, [math(x\in B_i, y\notin B_i)]가 되도록 만들 수 있다. 또한 정규 공간은 [math(T_3)]공간이기도 하므로 적당한 [math(B_j \in \mathcal{B})]가 존재하여,
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(x \in \overline{B_j}\subset B_i, y\in B_{i}^{c})] ||
이다.
[math((B_j, B_i) \in \mathcal{B}^{*})]이므로 적당한 [math(n)]이 존재하여 [math((B_j, B_i)=\left(B_{j_n}, B_{i_n}\right))]이다. 즉 [math(B_j=B_{j_n}, B_i=B_{i_n})]. 따라서 [math(x \in \overline{B_{j_n}}, y \in B_{i_n}^{c})]이므로
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(f_n(x)=0, f_n(y)=1)] ||
이다. 즉, [math(f(x))]와 [math(f(y))]의 [math(n)]번째 좌표가 다르므로 [math(f(x)\neq f(y))]. 따라서 단사이다.
이번에는 [math(f)]가 연속임을 보이자.
각 점 [math(p \in X)]에서 [math(f)]가 연속임을 보이면 된다.
임의의 양의 실수 [math(\epsilon)]을 택하자. [math(x\in X)]에 대하여
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{f_n(x)-f_n(p)}{2}\right)^{2}\cdots(\ast))] ||
이고, [math(0\leq |f_n(x)-f_n(p)|\leq 1)]이므로
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle \left(\frac{f_n(x)-f_n(p)}{2}\right)^{2}\leq \frac{1}{2^{2n}})] ||
이 되어, 식 [math((*))]의 우변은 수렴한다. 따라서 적당한 자연수 [math(n_0)]이 존재하여
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^{2}=\sum_{n=1}^{n_0}\frac{|f_n(x)-f_n(p)|^2}{2^n}+\frac{\epsilon^2}{2})] ||
이다. 이 때, [math(f_n:X\to\left[0,1\right])] ([math(n \in \{1,2,\cdots,n_0\}))]가 연속이므로, 점 [math(p)]에서도 연속이 되며, 따라서 점 [math(p)]의 적당한 열린근방 [math(U_n)]이 존재하여 임의의 [math(x \in U_n)]에 대하여
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle |f(x)-f(p)|^{2}<\frac{\epsilon^2\cdot2^{2n}}{2n_0})] ||
을 만족하도록 만들 수 있다. 이제 [math(\displaystyle U=\bigcap_{i=1}^{n_0}U_i)]이라 놓자. [math(U)]는 점 [math(p)]의 열린 근방이 되며, 임의의 점 [math(x\in U)]에 대해
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{f_n(x)-f_n(p)}{2^n}\right)^{2}<n_0\left(\frac{\epsilon^2}{2n_0}\right)+\frac{\epsilon^2}{2}=\epsilon^2)] ||
따라서 [math(f)]는 점 [math(p)]에서 연속이므로 [math(f)]는 [math(X)]에서 연속이다.
이제 [math(Y=f(X)\subset \mathbb{R}^{\infty})]로 둔 뒤, [math(f^{-1}:Y\to X)]가 연속임을 보이자.
[math(Y)]는 힐베르트 공간 [math((\mathbb{R}^{\infty}, d))]의 부분공간이므로 [math(Y)] 역시 거리공간이다. 그러므로 [math(f^{-1})]가 [math(Y)]의 각 점 [math(f(p))](단 [math(p \in X)])에서 점렬연속임을 보이면 충분하다.
귀류법을 이용하자.
만약 한 점 [math(f(p) \in Y)]에서 점렬연속이 아니라면 어떤 점렬 <[math(f(y_n))]>이 [math(Y)]에 존재하여, <[math(f(y_n))]>[math(\to f(p))]이고 <[math(y_n)]>[math(\nrightarrow p)]이다.
따라서 <[math(y_n)]>의 적당한 부분점렬 <[math(x_m)]>과 점 [math(p)]의 적당한 근방 [math(V)]가 존재하여 [math(x_m \notin V(m\in\mathbb{N}))]여야 한다.
이 때, [math(p\in V)]이므로 [math(B_i \in \mathcal{B})]가 존재하여 [math(p \in B_i \subset V)]이고, [math(T_4)] 공간이므로 정칙 공간이기도 하기에 [math(B_j \in \mathcal{B})]가 존재하여 [math(p \in \overline{B_j}\subset B_i\subset V)]가 성립한다.
이렇게 잡은 [math(B_j, B_i)]로 튜플을 짜자.
[math((B_j, B_i)=(B_{j_n}, B_{i_n}))]이라 하면, [math(x_m \in B_i^c=B_{i_n}^c(m \in \{1,2,\cdots\}))]이므로 [math(f_n(p)=0, f_n(x_m)=1(m \in \{1,2,\cdots\}))]이다.
따라서, [math(m \in \{1,2,\cdots\})]에 대하여
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle \lVert f(x)-f(p) \rVert^2=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{f_k(x_m)-f_k(p)}{2^k}\right)^2\geq \left(\frac{f_n(x_m)-f_n(p)}{2^n}\right)^2=\frac{1}{2^{2n}})] ||
즉, <[math(f(x_m))]>[math(\nrightarrow f(p))]가 성립한다. 이는 점렬 <[math(f(y_n))]>[math(\to f(p))]라는 것과 모순이다. 따라서 전제로 둔 한 점 [math(f(p) \in Y)]에서 점렬연속이 아니다가 틀렸으므로 [math(Y)] 상의 각 점 [math(f(p))]에서 [math(f^{-1})]는 점렬연속이어야 한다. 따라서 [math(f^{-1}:Y\to X)]는 연속사상이다.
따라서, 제2가산 정규공간 [math(X)]는 사상 [math(f)]에 의해 힐베르트 공간인 [math((\mathbb{R}^{\infty}, d))]의 한 부분공간 [math(f(X))]과 위상동형이므로 [math(X)]는 거리화 가능 공간이다.
2.2. 2단계[편집]
제2가산 정칙공간은 정규공간이다.
마찬가지 방법으로 [math(A)]와 서로소인 [math(B)]의 가산 열린덮개 [math(\{V_i\})]를 얻을 수 있다.[math(A, B)]를 [math((X, \mathcal{T}))]에서 서로소인 닫힌집합이라고 하자. 정칙 성질의 따름정리에 의해 그 폐포가 [math(B)]와 서로소인 열린집합 [math(U_i)]가 존재하는데 이를 이용해 [math(A)]의 가산 열린덮개 [math(\{U_i\})]를 얻을 수 있다.
이제
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(\displaystyle U_n':=U_n-\bigcup_{u=1}^{n}\overline{V_i}, V_n':=V_n-\bigcup_{i=1}^{n}\overline{U_i})] ||
라고 두면, [math(U_n')]과 [math(V_n')]은 열린집합이며 [math(\{U_n'\})]은 [math(A)]의 열린덮개, [math(\{V_n'\})]은 [math(B)]의 열린덮개가 된다.
그리고
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(U':=\cup U_n', V':=\cup V_n')] ||
라고 놓자.
그러면 [math(U', V')]는 열린집합이며 [math(A\subset U', B\subset V')]이면서 [math(U'\cap V'=\emptyset)]이 되어 정규공간임을 확인할 수 있다.
2.3. 정리[편집]
1. 제2가산 정규공간은 거리화 가능 공간이다.
1. 제2가산 정칙공간은 정규공간이다.
위의 두가지 성질을 증명해냈으므로, 제2가산 정칙공간은 거리화 가능 공간임을 증명해냈다. 이를 우리손의 거리화 정리라고 한다.
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