크리스토펠 기호

1. 개요[편집]

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시공간의 대칭성 조건을 전제로 거리함수 계량텐서(metric tensor)를 특정지을때 아인슈타인 방정식에서 조사되는 리치-쿠르바스트로(Ricci-Curbastro)의 리치 텐서(리치-쿠르바스트로 텐서)와 레비-치비타(Tullio Levi-Civita)의 레비-치비타 접속(또는 레비치비타 기호)을 계산하기 위해 크리스토펠 기호(독일어: Christoffel symbole, 영어: Christoffel symbol)를 사용한다. [다][1][나] 또한 유체역학에서 스트레스 텐서를 다루거나 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)을 다룰때 사용하기도 한다.[바]
한편 크리스토펠 기호는 리만 곡률 텐서와 리치 텐서를 공변보존에서 공변미분(covariant derivative) 그리고 리치 스칼라 곡률(Ricci scalar curvature)과는 리치 텐서(리치-쿠르바스트로 텐서)에서 관련있다.

좌표계로 다루어질수있는 기하학적 미분 계산이 일반적으로 변화에대한 결과값을 보여주는 것에 효율적이라면 이와는 다르게 그러한 결과값의 과정에 관여한 정보들을 보존하고 있는 계산이 때로는 필요에의해서 요구된다. 크리스토펠 기호는 그러한 요구를 만족시킬수있다.

1.1. 크리스토펠 기호의 정의[편집]

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그리스 문자 중 세 번째 글자인 감마 대문자(Γ)를 사용한다.
[math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha}))]
[math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \dfrac{1}{2} g^{\lambda\alpha} \left( \dfrac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_{\mu}} + \dfrac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_{\nu}} - \dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\alpha}} \right) )][가][*나 ]

1.2. 거리함수텐서(메트릭텐서)[편집]

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거리함수(metric) 벡터(vector)
[math( g_{1} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) )]
[math( g_{2} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) )]
로 부터 [math( g_{1} \cdot g_{2} = g_{12} )]
따라서
[math( g_{12} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right)\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) )]
[math( g_{23} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right)\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) )]
[math( g_{31} =\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right)\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) )]
거리함수 텐서(metric tensor)를 정의할수있다.
그리고 이것을 다시 편미분으로 계산하고 이어서 크리스토펠 기호로 정리해보면
[math( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} = \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{1} \partial x_{2}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) +\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{1} \partial x_{3}} \right) )]
[math( \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} = \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) +\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \right) )]
[math( \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} = \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{3} \partial x_{1}} \right) \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{2}} \right) + \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{1}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{3} \partial x_{2}} \right) )] 을 얻을수있다.
이어서
[math( \left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = 2\left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \right) )]이고
따라서
[math( \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = \left( \dfrac{\partial f_{} }{\partial x_{3}} \right) \left( \dfrac{\partial^2 f_{} }{\partial x_{2} \partial x_{1}} \right) = \Gamma_{321} )]으로 정의하고
[math( g^{34}\Gamma_{321} = \Gamma_{21}^{4} , \Gamma_{321} = \Gamma_{21}^{4}g_{34} )]를 조사할수있다. [*다 ][2] [3]
한편 [math( g_{34})]의 역원으로 [math( g^{34})]을 취해보면[4]
[math( \Gamma_{321} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) )]
[math( g^{34} \Gamma_{321} = g^{34} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = \Gamma_{21}^{4} )]
따라서
[math( g^{34} \Gamma_{321} =\Gamma_{21}^{4} = g^{34} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) )]
[math( \Gamma_{21}^{4} \cdot g_{34} = g_{34} \cdot g^{34} \cdot \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) )]
[math( \Gamma_{21}^{4}g_{34} = \cancel{g_{34}} \cdot \cancel{g^{34}} \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) )]
[math( \Gamma_{21}^{4}g_{34} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial g_{23}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial g_{31}}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial g_{12}}{\partial x_{3}} \right) = \Gamma_{321} )]

관례에 따라 [math( \Gamma_{21}^{4}g_{34} = \Gamma_{321} )]를 제1종(1st kind)으로 그리고 역원 표현의 [math( g^{34}\Gamma_{321} = \Gamma_{21}^{4} )] 를 제2종(2nd kind)으로 사용하고 있다.[라][마][카][타]

2. 역사[편집]

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엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 독자적으로 거리함수 벡터에 대한 작동의 기초 이론을 발표한바있다.[아] [자] 크리스토펠 기호(독일어: Christoffel symbole, 영어: Christoffel symbol)는 그의 이름을 따서 명명되었다.[5]

2.1. 초기 원형 크리스토펠 기호[편집]

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엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 그의 발표 논문에서 사용한 초기 원형 크리스토펠 기호[*아 ][*자 ]
제1종
[math( \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial w_{gk}}{\partial x_h} + \dfrac{\partial w_{hk}}{\partial x_g} -\dfrac{\partial w_{gh}}{\partial x_k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix})]
제2종
[math( \displaystyle \sum_k \begin{bmatrix}il \\ k \end{bmatrix} \dfrac{E_{rk}}{E} = \begin{Bmatrix} il \\ r \end{Bmatrix} )]

2.2. 크리스토펠 기호의 항등식들[편집]

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엘빈 브루노 크리스토펠(독어: Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 그의 발표 논문에서 크리스토펠 기호를 사용해 증명한 항등식들[*아 ][*자 ]
제1종
[math( \begin{bmatrix}hg \\ k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} )]
[math( \dfrac{\partial w_{hk} }{\partial x_g} = \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}gk \\ h \end{bmatrix})]
제2종
[math( \begin{Bmatrix} li \\ r \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} il \\ r \end{Bmatrix} )]

2.3. 종류[편집]

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같지만 다른표현들
제2종 크리스토펠 기호
[math( \Gamma^{l}_{ik} = \begin{Bmatrix} l \\ ik \end{Bmatrix} )]
초기원형 [math( \begin{Bmatrix} i k \\ l \end{Bmatrix} )]는 현대 리만기하학에서는 [math( \begin{Bmatrix} l \\ ik \end{Bmatrix} = \Gamma^{l}_{ik} )]로 받아들이고 있다.

3. 리만 곡률 텐서[편집]

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리만 곡률 텐서로도 잘 알려진 리만-크리스토펠 곡률 텐서는 아래와 같이 크리스토펠이 2종류로 표현해 1869년에 발표한바있다.
[math( (gkhi) = \dfrac{\partial \begin{bmatrix}gh \\ k \end{bmatrix} }{\partial x_i} - \dfrac{\partial \begin{bmatrix}gi \\ k \end{bmatrix} }{\partial x_h} + \displaystyle\sum_{ab} \dfrac{E_{ab}}{E} \left( \begin{bmatrix}gi \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}hk \\ b \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}gh \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ik \\ b \end{bmatrix} \right) )]
[math( (gkhi) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial w_{gi} }{\partial x_i \partial x_k} + \dfrac{\partial w_{hk} }{\partial x_g \partial x_i} -\dfrac{\partial w_{gh} }{\partial x_i \partial x_k} -\dfrac{\partial w_{ik} }{\partial x_g \partial x_h} \right) + \displaystyle\sum_{ab} \dfrac{E_{ab}}{E} \left( \begin{bmatrix}gi \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}hk \\ b \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}gh \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ik \\ b \end{bmatrix} \right) )]

4. 비앙키 항등식[편집]

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1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 크리스토펠 기호를 도입해서 비앙키 항등식(Bianchi identities)을 구현할때 사용한 제1종 크리스토펠 기호.[*마 ]
[math( \begin{bmatrix} i k \\ l \end{bmatrix} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial a_{il}}{\partial x_{k} } + \dfrac{\partial a_{kl}}{\partial x_{i} } - \dfrac{\partial a_{ik}}{\partial x_{l} } \right) )]
제2종 크리스토펠 기호
[math( \begin{Bmatrix} i k \\ \lambda \end{Bmatrix} = \displaystyle \sum_{l}^{1...n}A_{\lambda l} \begin{bmatrix} i k \\ l \end{bmatrix} )]
1925년 엘리 카르탄(Elie Cartan)이 비앙키 항등식을 도입할때 크리스토펠 기호를 사용한 제1종 크리스토펠 기호. [*카 ][*타 ]
[math( \Gamma_{ris} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial g_{ir}}{\partial u^{s}} +\dfrac{\partial g_{is}}{\partial u^{r}} -\dfrac{\partial g_{rs}}{\partial u^{i}} \right) = \begin{bmatrix} r s \\ i \end{bmatrix} )]
제2종 크리스토펠 기호
[math( \Gamma_{rs}^{i} = \displaystyle\sum_{h} g^{ik} \Gamma_{rks} =\displaystyle\sum_{h} g^{ik}\begin{bmatrix} r s \\ k \end{bmatrix} = \begin{Bmatrix} r s \\ i \end{Bmatrix} )]

5. 힐베르트 액션[편집]

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힐베르트(Hilbert, D.)가 맥스웰 방정식를 도입해서 힐베르트 액션(Hilbert action)을 구현할때 사용한 제2종 크리스토펠 기호[*라 ]
[math( \begin{Bmatrix} k \varrho \\ \mu \end{Bmatrix} = \dfrac{1}{2} \sum\limits_{\sigma} g^{\mu\sigma} \left( g_{\kappa\sigma\varrho} + g_{\varrho\sigma\kappa} - g_{\kappa\varrho\sigma} \right) )]

6. 리치-쿠르바스트로 텐서와 크리스토펠 기호[편집]

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[math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha}))]
[math(R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} + \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho} -\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} )]

크리스토펠 기호는 한 변수가 변하면 다른 변수도 변하는 성질을 보장하는 공변성 또는 공변보존(covariant conservation)에서 리치-쿠르바스트로 텐서로 계산될수있다. 이것은 야코비 행렬식이 가역행렬의 기본정리(The Fundamental Theorem of Invertible Matrices)에서 작동하는것과 주요한 관련이 있다.

7. 유체역학[편집]

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1947년 애리스토틀 D. 미할(Aristotle D. Michal)교수가 그의 저서 <Matrix and Tensor Calculus>(직역:매트릭스 그리고 텐서 미적분학)에서 나비에-스토크스 방정식을 표현할때 사용한 크리스토펠 기호[*바 ][6]
[math( \dfrac{\partial u^i}{\partial t} = \nu g^{\alpha \beta} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 u^i}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\beta}} + \Gamma^i_{\sigma \beta}\dfrac{\partial u^{\sigma}}{\partial x^{\alpha}} +\Gamma^i_{\sigma \alpha}\dfrac{\partial u^{\sigma}}{\partial x^{\beta}} - \Gamma^{\sigma}_{\alpha \beta}\dfrac{\partial u^{i}}{\partial x^{\sigma}} + \left(\dfrac{\partial \Gamma^i_{\sigma \alpha}}{\partial x^{\beta}} + \Gamma^i_{\gamma \beta}\Gamma^{\gamma}_{\sigma \alpha} - \Gamma^i_{\gamma \gamma}\Gamma^{\gamma}_{ \alpha \beta} \right)u^{\sigma} \end{bmatrix} - u^{\alpha} \left( \dfrac{\partial u^i}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^i_{\sigma \alpha} u^{\sigma} \right) + \dfrac{\nu}{3}g^{i\alpha} \dfrac{\partial }{\partial x^{\alpha}} \left( \dfrac{\partial u^\beta}{\partial x^{\beta}} + \Gamma^{\beta}_{\sigma \beta} u^{\sigma} \right)- \dfrac{1}{\rho}g^{i\alpha} \dfrac{\partial P}{\partial x^{\alpha}} + X^i )]

8. 관련 문서[편집]

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• 아핀 접속
• 슈바르츠실트 메트릭
• 크로네커 델타