라이스너-노르드스트룀 계량

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Theory of Relativity

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1. 개요

2. 라이스너-노르드스트룀 해

2.1. 좌표계

2.2. 라이스너-노르드스트룀 해의 유도

2.2.1. 추측

2.2.2. 정확한 풀이

3. 측지선

4. 좌표 특이점

1 . 개요[편집]

라이스너-노르드스트룀 해(Reissner-Nordström metric)는 구형 대칭이고 빠르게 회전하지 않으나 충분히 대전된 천체 주변의 시공간을 기술하는 해이다. RN 시공간이라고도 한다.

2 . 라이스너-노르드스트룀 해[편집]

[math(\displaystyle ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)c^2dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)] [1]

2.1 . 좌표계[편집]

자세한 내용은 슈바르츠실트 계량 문서를 참고하십시오.

RN 해 역시 정지한 구형 대칭 해(static spherically symmetric solution)이므로, 슈바르츠실트 좌표계를 사용할 수 있다. 기본 형태는 동일하게 주어진다.

[math(ds^2 = -e^{2\Phi(r)}\mathrm{d}t^2 + e^{2\Lambda(r)}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]

[1] [math(\displaystyle r_s = \frac{2GM}{c^2},\quad r^2_Q = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0c^4})]

2.2 . 라이스너-노르드스트룀 해의 유도[편집]

우선 민코프스키 계량을 생각하자. 구면좌표계에서의 민코프스키 계량의 행렬식 값은

[math(g = g_{\mu}^{\mu} = g_{00}g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}g_{tt} = -r^4 \sin^2 \theta)]

으로 나타내어진다. 여기서 약한 중력장 하에선 모든 계량이 민코프스키 계량에 근사한다는 점을 생각하면, 우리가 구하려고 하는 라이스너-노르드스트룀 해도 동일하게

[math(g \simeq -r^4 \sin^2 \theta)]

로 나타낼 수 있다. 여기서 [math(g_{\phi\phi}g_{\theta\theta})]의 값이 [math(r^4 \sin^2 \theta)]이므로,

[math(g_{00} = -(g_{tt})^{-1})]

로 둘 수 있다. 여기서 위에서 구한 슈바르츠실트 해의 개형과 비교해보면, 우리가 구하고자 하는 해는 슈바르츠실트 해의 조건에 '대전된 전하'라는 조건만 덧붙인 셈이므로, 이미 구한 슈바르츠실트 해에 전하량과 관련된 적당한 보정항을 넣어서 우리가 원하는 해에 근사시킬 수 있다.

이 보정항이 구체적으로 어떤 형태를 가지게 될지 생각해보자. 일단 거리 [math(r)]과 전하량 [math(q)]가 어떤 방식으로든 보정항에 들어가야 함은 자명하다. 여기서 슈바르츠실트 해의 경우를 생각해보자. 민코프스키 계량의 경우([math(\eta_{00} = 1)])와 비교해서 [math(-\frac{2GM}{c^2 r})]이라는 '보정항'이 들어갔다고 볼 수도 있으므로([math(g_{00} = 1-\frac{2GM}{c^2 r})]), 여기에 착안하면 전하량에 관련된 보정항에도 광속 [math(c)]와 중력상수 [math(G)]가 들어가야 될 것 같다. 즉, 이 보정항을 식으로 정리하면,

[math(g_{\sf compliment} = kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s})]

의 형태를 띠게 됨을 알 수 있다. 여기서 [math(k)]는 적당한 비례상수이고, [math(n,m,p,s)]는 적당한 비례 지수이다. 이 보정항을 [math(g_{00})]에 추가하면, 우리가 찾고자 하는 계량은

[math(g_{00} = 1 - \dfrac{2GM}{c^2 r} + kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s})]

이 될 것이다. 대충 적당한 조건을 덧붙여서 급조해낸 것 같아 보이는 해이지만, 놀랍게도 이 해의 형태는 단순한 근사값이 아니라 아래서 정량적으로 구하는 해와 형태가 정확히 일치한다. 여기서 몇가지 정성적인 추론을 해보자.

전하량은 질량과 다르게 음의 값을 가질 수 있다. 하지만 전하량의 부호를 반전시킨다고 보정항의 부호가 바뀔 리는 없으므로(= 전하의 극성에 따라 시공간의 휨 정도가 바뀔 리는 없으므로), [math(n)]은 짝수여야 한다.
전하량이 커지면 커질수록 시공간에 주는 영향이 커져야 한다. 바꿔 말하면, 보정항의 값이 커지면 커질수록 계량의 값 자체도 커져야 된다. 즉, k의 값은 양수이다.

이외에도 몇 가지 조건을 주는 걸로 해의 형태를 보다 구체적으로 확정지을 수 있지만, 여기서는 생략한다.

2.2.2 . 정확한 풀이[편집]

[math(g_{tt} = A(r), g_{rr} = B(r), g_{\theta\theta} = r^2, g_{\phi\phi} = r^2 \sin^2{\theta})]

로 놓는다. 이들을 이용하면 크리스토펠 기호, 리만 텐서, 리치 텐서, 스칼라 곡률, 아인슈타인 텐서를 A(r), B(r)과 그 고계도함수의 조합으로 나타낼 수 있다. 이들을 정규직교기저를 이용하여 [math(g_{ij} = \eta_{ij})]인 기저 [math(e_{i})]에 대한 성분들로 나타내어 아인슈타인 방정식의 좌변을 완성한다. 정규직교기저에 대한 에너지-운동량-스트레스 텐서의 성분은 일반적인 평평 공간에서 관측한 에너지 밀도, 운동량 밀도, 스트레스 텐서와 같다. r = 0 에 위치한 전하 Q에 대한 평평 공간의 에너지 밀도 등은 맥스웰 방정식에서 쉽게 도출할 수 있으므로, 이들을 대입하여 아인슈타인 방정식의 우변을 구성하여 앞에서 구한 좌변과 연결하여 A(r), B(r) 에 대한 미분방정식을 풀면 라이스너-노르드스트룀 해를 구할 수 있다.

3 . 측지선[편집]

슈바르츠실트 측지선과 마찬가지로, 라이스너-노르드스트룀 시공간에서도 [math(p_t)]와 [math(p_{\phi})]가 보존된다. 따라서 측지선이 평면 [math(\theta = \pi/2)]에 고정되도록 좌표를 잡고,

[math(p_t/m = -\tilde{E}, \quad p_{\phi}/m = \tilde{L})]

이라 정의하면 다음 조건이 성립한다.

[math(\displaystyle \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)\frac{dt}{d\tau}= \tilde{E})]
[math(\displaystyle r^2\frac{d\phi}{d\tau} = \tilde{L}, \quad \frac{d\theta}{d\tau} = 0)]

이제, 운동 방정식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle -\left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)^{-1}\tilde{E}^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} \right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + \frac{\tilde L^2}{r^2} = -1)]

[math(\displaystyle \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \tilde E^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2}\right)\left(1+ \frac{\tilde L^2}{r^2}\right))]

4 . 좌표 특이점[편집]

[math(\displaystyle 1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r^2_Q}{r^2} = 0)]

이라 두면 [math(r_s > 2R_Q)]일 경우 좌표 특이점(곡면)이 다음과 같이 2개 있다. (사건의 지평선, 그 내부의 코시 지평선)

[math(\displaystyle r_{\pm} = \frac{1}{2}\biggl(r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4r^2_Q}\biggr))]

[math(r_s = 2R_Q)]이면 극값 블랙홀(extremal black hole)이 되고, [math(r_s < 2R_Q)]인 블랙홀은 현실에 존재하지 않는다. 존재를 가정할 경우, 특이점이 사건의 지평선에 가려지지 않고 노출된다고 하여 naked singularity라고 부른다. (자연 단위계 [math(G = c =1)]을 사용하면 단순히 전하가 질량보다 클 수 없다고 표현할 수 있다.)

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라이스너-노르드스트룀 계량

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1 . 개요[편집]