gamma function감마 함수는
계승(factorial) 함수의
해석적 연속(analytic continuation)이다.
원래
계승(factorial) 함수는 오로지
음이 아닌 정수만을 정의역으로 하는 함수다. [math((-0.5)!)]이나 [math(\sqrt{2}!)] 따위는 정의되지 않는다. 다만, 감마 함수의 이해를 돕기 위해 편의상 팩토리얼을 써서 표기하는 경우는 많이 있다. 그 이후 수학자들이 계승 함수의
정의역을
복소수 범위로 확장한 걸 감마 함수라고 부른다. 후술하겠지만, 감마 함수도 실수부가 [math(0)] 이하의 정수인 경우에는 정의되지 않는다.
불완전 감마 함수에서 [math(b=0)]인 경우에 해당한다.
감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근 방향에 따라 여러 가지인데, 역시 제일 중요한 발원적 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서 [math(0)]보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이다. 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.
적분꼴[1] 적분꼴은 [math(z)]의 실수부가 양수일 때만 수렴하는 이상적분이지만, 밑의 세 식은 [math(z)]가 [math(0)] 이하의 정수가 아니면 무조건 수렴한다.
| [math(\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,{\rm d}t)]
|
오일러 무한곱꼴
| [math(\displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1n \right)^{\!z}}{1+\dfrac zn})]
|
단순항꼴[2] 아래에 있는 바이어슈트라스꼴 감마함수는 이 단순항꼴로부터 유도되었다.
| [math(\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)})]
|
바이어슈트라스꼴
| [math(\displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn})]
|
그렇게 안 보이지만 저 넷은 서로가 서로를 유도할 수 있는 동치 관계다. [math(\displaystyle \prod)]는 계속 곱해나가라는 뜻이고, [math(\gamma)]는 값이 약 0.5772156649인
오일러-마스케로니 상수[3] 간단히 말하면 [math(\dfrac 1x)] 함수 아래의 넓이와 직사각형들 넓이의 합의 차(식으로 쓰면 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \!\left( \sum_{k=1}^n \frac1k - \int_1^n \frac{{\rm d}k}k \right) \\)])다. 참고로 이 상수가 유리수인지 무리수인지는 아직도 밝혀내지 못했다.
다.
오늘날에는
적분 꼴의 정의식이 가장 널리 알려져있지만, 역사적으로는 오일러 무한곱꼴이 먼저 발견되었다. 정의역이 [math(0)] 이상의 정수로 한정되어있던
팩토리얼을 실수로 확장하고자 하는 논의가
1720년대에
다니엘 베르누이[4] 베르누이 정리의 그 베르누이 맞다. 베르누이 수열을 발견한 야콥 베르누이의 조카이다.
와
크리스티안 골드바흐[5] 역시 골드바흐 추측의 그 골드바흐이다. 오일러와 친했던 것으로 알려져 있다.
를 중심으로 이루어졌는데, 십년도 채 되지 않아 이 문제는
오일러에 의해 해결되었고,
1729년 10월 13일 오일러가 골드바흐에게 보낸 편지에 그 기록이 남아있다. 실제로 오일러 무한곱꼴은 적분과는 무관하게
극한에 대한
고등학교 수준의 지식만 있으면 쉽게 유도할 수 있다.
먼저 [math(\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)})]에 대해 [math(k\to\infty)]일 때의 극한값을 구해보자. 해당 식은 다음과 같이 변형할 수 있으며
[math(\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{k\left(1+\frac ik \right)\right\}}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle k^n \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)}=\dfrac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)})]
|
[math(k \to \infty)]일 때 분자 분모가 각각 [math(1)]로 수렴하므로 위 식은 [math(1)]에 수렴함을 알 수 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.
[math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{n!\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} = n!\lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} = n!)]
|
여기서 [math(\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)=\frac{(k+n)!}{k!})]이므로 위 식은 팩토리얼과 지수함수만으로 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle n! = \lim_{k\to\infty}\frac{n!\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)} = \lim_{k\to\infty}\frac{k!\,n!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!} = \lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}})]
|
그런데 [math(\displaystyle \frac{(k+n)!}{n!}=\prod_{i=1}^k (i+n)=\prod_{i=1}^k \left\{ i \left(1+\frac ni \right)\right\} = k! \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right))]이고 [math(\displaystyle k+1 = \prod_{i=1}^k \frac{i+1}i = \prod_{i=1}^k \left(1+\frac 1i\right))]이므로
[math(\displaystyle n!=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left( 1+\frac 1i \right)^n}{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right)} = \lim_{k \to \infty} \prod_{i=1}^k \frac{\left(1+\dfrac 1i \right)^n}{1+\dfrac ni} = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{1+\dfrac nk})]
|
가 되며 위 식에서 양변을 [math(n)]으로 나눈 형태가 바로
오일러 무한곱꼴 정의이다.
이후 반년도 채 되지 않은 1730년 1월 8일에 오일러는 골드바흐에게 다시 편지를 보내 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 보였다. 이것이 적분으로 정의된 팩토리얼의 최초 형태이며 부분적분을 이용하면 우변으로부터 좌변을 쉽게 유도할 수 있다.
[6] 물론 당시 오일러는 편지에서 지수함수의 적분에 대한 특징과 극한, 로피탈의 정리를 통해 유도하는 방식으로 증명했다.
[math(\displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t)]
|
여기서 [math(-\ln t=x)]로 치환하면 [math(t=e^{-x})], [math(\mathrm{d}t=-e^{-x}\mathrm{d}x)], [math(\begin{cases} t \to 0 \Rightarrow x \to \infty \\ t \to 1 \Rightarrow x \to 0 \end{cases})]이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
이것이 바로
적분꼴 정의이다.
19세기에 들어서,
가우스는 오일러 무한곱꼴을 다음과 같이 고쳐썼다. [math(n)]에 [math(z)]를, [math(k)]에 [math(n)]을 대입해보면 알 수 있듯이, 아래 식은 감마 함수의
단순항꼴 정의이다.
[math(\displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k!\,k^n}{\displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)})]
|
[math(\displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)=\frac{(n+k)!}{(n-1)!})]이므로 위 식은
[math(\displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \left(n-1\right)!\,k^n}{(n+k)!})]
|
로 변형할 수 있는데 이는 오일러 무한곱꼴 유도할 때 처음에 썼던 극한값
[math(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{k!}}=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!})]
|
에서 분자의 [math(\left(k+1\right)^n)]을 [math(k^n)]으로 바꿔도 위 값이 여전히 [math(1)]에 수렴함을 의미
[7] 상술한 극한값 증명 과정에서 분자를 [math(k^n)]으로 바꿔보면 바로 알 수 있다.
하며, 오일러 무한곱꼴을 좀 더 간단하게 나타낸 형태라고 볼 수 있다.
바이어슈트라스는 복소수로 확장된 단순항꼴에서
오일러-마스케로니 상수를 묶어내어 또 다른 무한곱꼴을 유도했는데, 사실 그는 양이 아닌 정수에서 극을 갖는 감마 함수를 꺼려 감마 함수의 역수 [math(\dfrac 1{\Gamma(z)})]에 대한 무한곱꼴을 유도했던 것으로 알려져 있다. 물론 굳이 역수를 취하지 않아도 도출해 낼 수 있으며, 이 아이디어에 착안하여 그는
바이어슈트라스 분해 정리를 증명하는 데에 이른다. 단순항꼴
[math(\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)})]
|
에서 [math(n^z = e^{\ln n^z} = e^{z\ln n})]이고, [math(\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i) = z \prod_{i=1}^n (z+i))] 이므로,
[math(\begin{aligned}\displaystyle \Gamma(z) &= \lim_{n\to\infty}\frac{n!\,e^{z\ln n}}{z\displaystyle \prod_{i=1}^n (z+i)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{n!\,e^{z\ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{ i \left(1+\dfrac zi \right) \right\}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{\cancel{n!}\,e^{z \ln n}}{\displaystyle \cancel{n!} \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}\end{aligned})]
|
[math(\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi} = e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac1i})] 이므로, 위 식에 [math(1 = \dfrac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{e^{z\sum\limits_{i=1}^n \frac1i}})]을 곱한다.
[math(\begin{aligned} \Gamma(z) &= \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i}} \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac 1z e^{z \left( \ln n - \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i \right)} \prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac zi}}{1+\dfrac zi} \\ &= \frac 1z e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn}\end{aligned})]
|
이것이 바로 감마 함수의
바이어슈트라스꼴 정의이다. 역수를 취하면, 바이어슈트라스 분해 정리의 기본꼴이 다음과 같이 나타난다.
[math(\displaystyle \dfrac1{\Gamma(z)}=e^{\gamma z}z \prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac zn\right)e^{-z/n})]
|
감마 함수는
팩토리얼의
상위호환격 함수이기 때문에,
팩토리얼의 성질을 모두 가지고 있다. [math(\Gamma(n)=(n-1)!)] ([math(n)]이 자연수일 경우)
[math(\Gamma(n+1)=n\Gamma(n))]
[math(\Gamma(1)=1)]
다만 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 계산에는 감마 함수의 정의에 있는 적분을 계산해야 하며, 음수로 가면 더욱 골치 아파진다.
[8] 음수의 감마 함수 그래프는 [math(1)] 간격으로 종유석과 석순을 교대로 그린다고 생각하면 된다.
아래 그래프에도 나와 있겠지만 양이 아닌 정수에서는 감마 함수가 정의되지 않는데, 이는 [math((-1)!\times 0=0!)]을 만족하는 [math((-1)!)]의 값이 존재하지 않기 때문이다. 좌변은 [math(0)], 우변은 [math(1)]이므로 얄짤없이 모순이다. [math((-1)!)]이 없으므로, 당연히 그보다 작은 정수의 계승 또한 존재하지 않는다.
[math([-5,\,5])] 범위의 감마 함수 그래프
예를 들어, [math(\Gamma(1+3)=3!=3\times 2\times 1=6)], [math(\Gamma(1+5)=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120)]으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인 [math(1.5)]를 넣으면 [math(\Gamma(1+1.5)=1.5!=\dfrac 34 \Gamma\left(\dfrac 12 \right)=\dfrac 34 \sqrt\pi\approx 1.32934)]인
무리수가 된다. [math(i)]를 넣으면 다음과 같은 값이 나온다.
오일러의 공식으로 유도할 수 있다. [math(i!=\Gamma(1+i)\approx 0.4980-0.1549i)]
감마 함수는
정규분포나
제타 함수와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.
[math(z=\dfrac 12)]을 기준으로
반사시켜서 나오게 된 이름이다. 복소적분을 이용해서 유도할 수 있다.
복소해석을 사용하지 않는 증명 보기
말 그대로
2배 공식이다. 마치 삼각함수의 배각 공식과 비슷한 맥락이라 생각하면 된다.
- [증명]
--- 베타 함수를 이용해 증명한다.
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\Beta(z,z) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin{\theta}\right)^{2z-1}\left(\cos{\theta}\right)^{2z-1} {\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sin{\theta}\cos{\theta}\right)^{2z-1} {\rm d}\theta \\
&= \frac{1}{2^{2z-1}} \int_0^\frac{\pi}{2} \left(\sin{2\theta}\right)^{2z-1} {\rm d}\theta \\
&= \frac{1}{2^{2z}} \int_0^\pi \left(\sin{\phi}\right)^{2z-1} {\rm d}\phi
\end{aligned})]
그런데 사인함수의 그래프는 [math(\dfrac\pi2)]에서 좌우대칭이므로, 위 적분은 [math(0)]부터 [math(\dfrac\pi2)]까지 적분의 2배다. 따라서 다음과 같이 변형할 수 있다.
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\Beta(z,z) &= \frac{1}{2^{2z}} \int_0^\frac{\pi}{2} \left(\sin{\phi}\right)^{2z-1} {\rm d}\phi \\
&= \frac{1}{2^{2z-1}} \Beta\!\left(z,\frac{1}{2}\right)
\end{aligned})]
한편 베타 함수는 다음과 같이 감마 함수의 비로 바꿀 수 있다.
[math(\displaystyle
\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
)]
따라서,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Beta(z,z) &= \frac{\Gamma^2(z)}{\Gamma(2z)} \\
\Beta\!\left(z,\frac12\right) &= \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(z)}{\Gamma\!\left(z+1/2\right)}
\end{aligned})]
이며, 위 두 식을
[math(\displaystyle
\Beta(z,z) = \frac1{2^{2z-1}} \Beta\!\left(z,\frac12\right)
)]
에 대입하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\Gamma^2(z)}{\Gamma(2z)} &= \frac1{2^{2z-1}} \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(z)}{\Gamma\!\left(z+1/2\right)} \\
\therefore \Gamma(2z) &= \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(z)\Gamma\!\left(z+\frac12\right)
\end{aligned})]
|
감마 함수 자체는 기본적인 초등함수로 나타낼 수 없지만, 만일 z의 값이 커질 경우 다음과 같은 형태로 근사시킬 수 있다.
[math(\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\dfrac ze\right)^{\!z})]
|
[math(z)]가 한없이 커질수록 점점 원래 함수에 가깝게 된다. 점근 급수(asymptotic series)에 대해 참고해볼 것.
인도의 수학자
스리니바사 라마누잔이 위 식을 잘 이용해서
[math(\ln N!=N\ln N-N+\mathcal{O}(\ln N))]
|
임을 증명해냈다.
[math(\ln\Gamma(z))]의 [math(n)]계 도함수들을
폴리감마 함수(polygamma functions)라고 정의하며, 많은 서적들에서는 보통 [math(\psi_n(z))]으로 표기한다.
[9] 후술할 디감마 함수를 염두에 둔다면 [math(\digamma)](digamma)로 표기할 수도 있겠으나, 라틴 문자 [math(F)]와 혼동할 수 있기 때문에 채택되지 못한 것으로 보인다.
특히, 다음을 각각
디감마 함수(digamma function)와
트리감마 함수(trigamma function)라고 한다.
디감마 함수, 트리감마 함수, 나아가 임의의 [math(n)]에 대한 폴리감마 함수는 다음과 같이 급수로 표현할 수 있다.
여기서 [math(\zeta(n+1,z))]는
후르비츠 제타 함수이다.
- [증명]
--- 감마 함수의 바이어슈트라스꼴 정의에 로그를 취하고 미분하면 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(z) &= \frac1z e^{-\gamma z} \prod_{k=1}^\infty \frac{e^{\frac zk}}{1+\frac zk} \\
\ln \Gamma(z) &= -\ln z -\gamma z +\sum_{k=1}^\infty \Bigl( \frac zk -\ln \Bigl( 1+\frac zk \Bigr) \!\Bigr) \\
\psi(z) = \frac{\rm d}{{\rm d}z} \ln \Gamma(z) &= -\frac1z -\gamma +\sum_{k=1}^\infty \biggl( \frac1k -\frac{\frac1k}{1+\frac zk} \biggr) \\
&= -\frac1z -\gamma +\sum_{k=1}^\infty \biggl( \frac1k -\frac1{k+z} \biggr) \\
\psi_1(z) = \frac{\rm d}{{\rm d}z} \,\psi(z) &= \frac1{z^2} +\sum_{k=1}^\infty \frac1{(k+z)^2} = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+z)^2} \\
\psi_2(z) = \dfrac{{\rm d}^2}{ {{\rm d}z}^2 } \,\psi(z) &= -2 \sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+z)^3} \\
&~~\vdots \\
\psi_n(z) = \dfrac{{\rm d}^n}{ {{\rm d}z}^n } \,\psi(z) &= (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+z)^{n+1}}
\end{aligned} )]
한편, 후르비츠 제타 함수는 [math(\displaystyle \zeta(s,a) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+a)^s})]로 정의되므로, [math(\psi_n(z))]의 식에 있는 급수는 곧 [math(\zeta(n+1,z))]와 같다.
[math(\displaystyle
\psi_n(z) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+z)^{n+1}} = (-1)^{n+1} n! \,\zeta(n+1,z)
)]
|
디감마 함수 및 폴리감마 함수는 다음과 같이 적분꼴로도 표현될 수 있다. (단, [math(n)]은 자연수)
- [math(n\ge0)]인 정수 [math(n)]에 대해 다음의 점화 관계가 성립한다.
<:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi(z+1) &= \psi(z) +\frac1z \\
\psi_1(z+1) &= \psi_1(z) -\frac1{z^2} \\
\psi_n(z+1) &= \psi_n(z) +(-1)^n \frac{n!}{z^{n+1}}
\end{aligned} )]}}}||
- [증명]
--- 감마 함수의 점화 관계로부터 폴리감마 함수의 점화 관계를 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)
\end{aligned} )]
양 변을 미분한 후, 좌변을 [math(\Gamma(z+1))]로 나누고 우변을 [math(z\Gamma(z))]로 나누자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma'(z+1) &= \Gamma(z) + z\Gamma'(z) \\
\Rightarrow \frac{\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)} &= \frac1z +\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \\
\therefore \psi(z+1) &= \psi(z) +\frac1z
\end{aligned} )]
위 식을 [math(n)]번 미분하면 다음과 같이 [math(\psi_n(z))]의 점화 관계를 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi_n(z+1) &= \psi_n(z) +(-1)^n \frac{n!}{z^{n+1}}
\end{aligned} )]
|
<:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi(n+1) = H_n -\gamma
\end{aligned} )]}}}||
- [증명]
--- 아래와 같이 디감마 함수의 급수 표현에 [math(z=n+1)]을 대입하여 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi(n+1) &= -\frac1{n+1} -\gamma +\sum_{k=1}^\infty \biggl( \frac1k -\frac1{k+n+1} \biggr) \\
&= -\frac1{n+1} -\gamma +\sum_{k=1}^{n+1} \frac1k \\
&= \sum_{k=1}^n \frac1k -\gamma \\
&= H_n -\gamma
\end{aligned} )]
|
- [math(z\notin\Z)]인 복소수 [math(z)]와 [math(n\ge0)]인 정수 [math(n)]에 대해 다음의 반사 공식이 성립힌다.
<:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi(z) -\psi(1-z) &= -\pi \cot \pi z \\
\psi_1(z) +\psi_1(1-z) &= \pi^2 \csc^2\pi z = \frac{\pi^2}{\sin^2\pi z} \\
\psi_n(z) +(-1)^{n+1} \psi_n(1-z) &= -\pi \,\frac{{\rm d}^n}{ {{\rm d}z}^n} \cot{\pi z}
\end{aligned} )]}}}||
- [증명]
--- 감마 함수의 반사 공식을 [math(n)]번 미분하여 폴리감마 함수의 반사 공식을 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma(z) \Gamma(1-z) &= \frac\pi{\sin\pi z} \\
\Rightarrow \Gamma'(z) \Gamma(1-z) -\Gamma(z) \Gamma'(1-z) &= \pi \cdot \left( -\frac{\pi\cos\pi z}{\sin^2\pi z} \right) \\
&= -\frac{\pi^2\cos\pi z}{\sin^2\pi z}
\end{aligned} )]
양 변을 [math(\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \dfrac\pi{\sin\pi z})]로 나누면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} -\frac{\Gamma'(1-z)}{\Gamma(1-z)} &= -\frac{\pi^2\cos\pi z}{\sin^2\pi z} \cdot \frac{\sin\pi z}\pi \\
&= -\frac{\pi\cos\pi z}{\sin\pi z} \\
\Rightarrow \psi(z) -\psi(1-z) &= -\pi\cot\pi z \\
\end{aligned} )]
양 변을 [math(n)]번(단, [math(n)]은 [math(0)] 이상의 정수) 미분하면 공식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{{\rm d}^n}{ {{\rm d}z}^n } ( \psi(z) -\psi(1-z) ) &= \frac{{\rm d}^n}{ {{\rm d}z}^n } ( -\pi\cot\pi z ) \\
\Rightarrow \psi_n(z) +(-1)^{n+1} \psi_n(1-z) &= -\pi \,\frac{{\rm d}^n}{ {{\rm d}z}^n} \cot{\pi z}
\end{aligned} )]
예시로, [math(n=1)]을 대입하여 트리감마 함수의 반사 공식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi_1(z) +\psi_1(1-z) &= -\pi \cdot (-\csc^2\pi z \cdot \pi) \\
&= \pi^2 \csc^2\pi z \\
&= \frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}
\end{aligned} )]
|
5.3. 감마 함수의 도함수 표현[편집]
디감마 함수의 미분 관계식으로부터 감마 함수의 도함수를 도출할 수 있다.
즉, 도함수가 재귀적으로 정의된다.
곱의 미분법을 계속 사용하면 다음과 같은 규칙을 볼 수 있다.
즉, [math(n\ge0)]인 정수 [math(n)]에 대해 감마 함수의 [math((n+1))]계도함수를 다음과 같이 점화식으로 표현할 수 있다.
물론, [math(\Gamma^{(n+1)}(z))]를 [math(\Gamma^{(k)}(z))] 없이도 표현할 수 있다. 즉, 오로지 [math(\psi_{n-k}(z))]만 사용해 표현할 수 있다. 그러나 그 식은 매우 복잡하게 나온다.
- [math(\psi_1 \biggl( \dfrac12 \biggr) \!= \dfrac{\pi^2}2)]
- [증명]
--- 트리감마 함수의 반사 공식에 [math(z=\dfrac12)]을 대입하면 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\psi_1(z) +\psi_1(1-z) &= \frac{\pi^2}{\sin^2\pi z} \\
\Rightarrow 2\psi_1 \biggl( \frac12 \biggr) &= \frac{\pi^2}{1^2} = \pi^2 \\
\therefore \psi_1 \biggl( \dfrac12 \biggr) &= \frac{\pi^2}2
\end{aligned} )]
|
- [math(\psi_1 \biggl( \dfrac14 \biggr) \!= \pi^2 +8G)], [math(\quad \psi_1 \biggl( \dfrac34 \biggr) \!= \pi^2 -8G \quad)] (단, [math(G)]는 카탈랑 상수)
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