바이어슈트라스 타원 함수
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바이어슈트라스가 만든 병리적 함수에 대한 내용은 바이어슈트라스 함수 문서 참고하십시오.
1. 개요[편집]
Weierstraßsche [math(\wp)]-Funktion / Weierstrass 楕圓函數
카를 바이어슈트라스가 만든 특수함수의 하나로, [math(\wp)][1] 로 표기한다. 정의는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \wp(z) \equiv z^{-2} + \sum_{\ell \in \Lambda - \{0\}} ((z-\ell)^{-2} - \ell^{-2}
))]
[math(\ell)]은 격자점, [math(\Lambda)]는 [math(\ell)]의 집합이다.
2. 상세[편집]
복소수 위에서 매끄러운 함수다. 즉 해석함수이면서 무한번 미분이 가능하고, 연속이다.
이를 나타낸 그래프는 다음과 같다. 그래프를 보듯 모든 복소수에서 주기성을 띤다.
이름과는 달리 타원과는 별 상관없다. 이 함수는 타원곡선과 관련이 있는데, 복소공간에서 타원곡선 형태의 아래 식이 성립하기 때문이다.
이 함수의 그래프는 원환면(일명 도넛 모양)임이 알려져 있다.[2]
&와 비슷하게 저 [math(\wp)]를 예쁘게 쓰기 어렵다. 그래서 쓸 때 귀찮으면 [math(P)]로 쓰기도 하는 모양.
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[2] 두 복소수 방향으로 주기성을 지니고 있기에 위상수학적으로 원환면과 동일한 위상이 된다.