베타 함수
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1. 정의[편집]
beta function
[math(x>0)], [math(p>0)]에 대하여 베타 함수를 아래와 같이 정의한다.
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p) := \int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{p-1}\,{\rm d}t )]
2. 성질[편집]
베타 함수는 분모와 분자의 위치를 바꾸어 이항계수를 실수 범위로 확장한 것이라 볼 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.
- [math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p) =\frac{p-1}{x+p-1}{\rm B}(x,\,p-1))]
- [math(\displaystyle {\rm B}(n-k+1,\,k+1) =\left[(n+1) \binom{n}{k} \right]^{-1})]
[math(t)]를 삼각함수로 치환하면, 다음과 같은 꼴이 나타난다.
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2x-1}{\theta}\cos^{2p-1}{\theta}\,{\rm d}\theta )]
즉, 삼각함수의 적분을 유용하게 나타낼 수 있는 수단이 된다.
또한, 다음과 같이 감마 함수를 이용하여 정의할 수도 있다.
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)=\frac{\Gamma (x) \Gamma (p)}{\Gamma (x+p)} )]
[유도 과정] --
<math>\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(x)\Gamma(p) &= \int_0^\infty x^{x-1} e^{-x}\,\mathrm{d}x \, \int_0^\infty y^{p-1} e^{-y} \mathrm{d}y \\&= \int_0^\infty \int_0^\infty x^{x-1} y^{p-1} e^{-x-y}\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{aligned}</math>
여기서 [math(x=uv)], [math(y=u ( 1-v ) )]라 하면 [math(v \in [0,\,1])], [math( u \in [0,\,\infty))], [math( \left| J \right| = u)]이므로
<math>\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(x)\Gamma(p) & = \int_0^1 \int_0^\infty ( uv ) ^{x-1} ( u ( 1-v ) ) ^{p-1} e^{-u} u \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v \\&= \int_0^1 \int_0^\infty v^{x-1} ( 1-v ) ^{p-1} u^{x+p-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u \mathrm{d}v \\&= \int_0^1 v^{x-1} ( 1-v ) ^{p-1}\,\mathrm{d}v \int_0^\infty u^{x+p-1} e^{-u}\,\mathrm{d}u \\&= \Beta (x,\,p) \Gamma (x+p) \end{aligned}</math>--
한편, 베타 함수의 두 변수끼리는 교환이 가능하다. 즉,
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,p)={\rm B}(p,\,x) )]
가 성립한다. 이는 베타 함수의 정의에서 [math(t )]를 [math(1-t)]로 치환하면 나온다.
특수한 경우로 [math(x+p=1)]을 만족시키면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle {\rm B}(x,\,1-x)=\frac{\pi}{\sin{\pi x}} )]
이것은 베타 함수를 감마 함수로만 바꾸어 증명할 수 있다.
3. 일반화[편집]
베타 함수의 정의식은 적분의 상한이 1이다. 이때, 상한을 1이 아닌 상수로 두면 불완전 베타 함수가 된다. 이 함수에 대한 자세한 정보는 해당 문서를 참고하라.
4. 고등학교 교육과정에서의 활용[편집]
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