상대성 원리(물리학)
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1. 개요[편집]
상대성 원리(Principle of Relativity)는 물리학의 주요 개념 중 하나로, "관성 좌표계"라 불리는 물리적으로 동등한(구분되지 않는) 좌표계 집합이 좌표계 간 원점 위치와 방향 차이 및 "등속 직선 운동"으로 특정된다는 원리이다. 다시 말해, 좌표계의 속도를 실험적으로 알아낼 방법이 없다는 표현으로 정리된다.
갈릴레이가 처음 제시한 개념. 뉴턴이 처음으로 '상대성'이라는 표현을 갖다 붙였으며 아인슈타인의 상대성 이론의 시작점이기도 하다. 중요한 점은 상대성 '원리'와 상대성 '이론'은 다르다는 것이다.[1]
위 내용을 요약하면 서로 등속도로 운동하는 관측자에게 역학 법칙은 같은 형태를 지닌다는 것인데 쉽게 말하자면 속도가 빨라지거나 느려지는 운동을 하고 있지 않으면(즉, 가속도 [math(a)]가 0일 때) 물리 법칙은 똑같게 작용한다는 것이다."당신이 어떤 큰 배의 선실에 친구와 함께 있다고 해 봅시다. 선실에는 파리와 나비가 날아다니고, 금붕어가 들어 있는 어항도 있고, 병이 하나 매달려 있고 그 밑에 큰 그릇이 있는데, 병에서 물이 한 방울씩 떨어지고 있다고 해 봅시다. 배가 멈춰 있을 때에 주의 깊게 살펴보면, 파리나 나비는 어느 방향이나 비슷한 속도로 날아다니고, 금붕어는 어항 속에서 한가롭게 헤엄칩니다. 병에서 떨어지는 물방울은 정확히 밑에 있는 그릇으로 떨어집니다. 친구한테 물건을 던진다고 할 때, 이쪽 방향으로 던지는 것과 그 반대 방향으로 던지는 것 사이에 차이를 둘 필요는 없습니다. 자, 이제 배가 일정한 속도로 곧바로 움직이고 있다고 해 봅시다. 주의 깊게 살펴본다면, 이 모든 것이 하나도 달라지지 않음을 알게 될 겁니다. 심지어 당신은 지금 움직이고 있는 배 안에 있는지 아니면 멈춰 있는 배 안에 있는지도 구별하기 힘들 겁니다."
2. 역사[편집]
상대성 원리는 16 - 17세기의 갈릴레오 갈릴레이가 가장 먼저 공식화했다고 알려져 있다. 당시에는 역학이 도입되지 않았기 때문에 운동학에 근거하여 다소 명확하지 않은 용어들로 논의를 전개하였다.
아이작 뉴턴은 물체의 운동상태를 변화시키는 힘이 운동량(속도)의 변화를 가져온다고 하여, 시간이 절대적으로 정의되고 공간 상의 두 점 사이의 거리가 변화하지 않는 갈릴레이 변환에 대해 상대성 원리가 잘 성립하도록 고전 역학을 발전시켰다.
한편, 이후 맥스웰이 정립한 전자기학은 정역학을 중심으로 시작하였으나 이후 동역학을 다루는 과정에서 문제가 생긴다. 패러데이의 법칙에 따르면 자석과 코일이 상대 운동을 하면 코일에 전류가 발생하는데, 전자기학은 자석이 움직일 때와 코일이 움직일 때를 다른 기전으로 설명한다. 또, 전자기 복사는 관찰자와 광원의 상대속도에 상관없이 그 전파속도를 유지하는데, 이러한 점은 갈릴레이 변환으로[2] 설명하기 어려웠다. 따라서, 전자기학에서는 상대성 원리가 적용되지 않는다는 견해들이 제시되었다. 이는 올바른 물리법칙을 정립할 수 있는 좌표계의 운동상태는 단 하나 존재하며 이것을 절대공간에 대한 "정지" 좌표계로 볼 수 있음을 시사한다.
하지만, 좌표계의 속도를 검출하기 위한 여러 실험들은 실패하였으며, 결국 상대성 원리는 다시금 실험적으로 증명되고 있었다. 로런츠는 갈릴레이 변환 대신 로런츠 변환을 도입(1899, 1904)하여 전자기 동역학을 설명하려 하였고, 당시 물리학에 많은 기여를 하던 푸앵카레는 잊혀져가던 상대성 원리가 물리학의 중요한 기준이 될 가능성에 대해 언급하였다.
1905년 아인슈타인은 상대성 원리와 광속 불변 원리를 기반으로 한 상대성 이론을 제안하였다. 이것은 현재 보편적으로 채택되는 두 가지 원리를 명시화하고, 빛의 매질(에테르), 국소 시간 등 다양한 Ad Hoc을 완전히 제거했다는 점에서 실질적으로 상대성 이론이 완성된 시점으로 일반적으로 인정되고 있다.
3. 자석 - 도체 사고실험 (1905)[편집]
1905년 특수 상대성 이론 논문에서 아인슈타인이 제안한 사고실험이다. 패러데이 법칙에 의하면, 코일(도체)를 자석이 통과하면서 자속이 증가하거나 감소하면 그에 반하는 방향(자속의 합이 감소하는 방향)으로 전류가 흐르게 된다. 그 원인은 보통 유도기전력(전압)으로 설명하는데, 그 크기는 (코일이 감긴 횟수와) 자속의 "변화 속도"에 비례하므로 자석의 통과 속도에 의해 결정된다고 정리할 수 있다.
이러한 현상은 전적으로 자석과 도체의 "상대"속도에 의해서 결정되지만, 패러데이 법칙을 좌표화하여 나타내면 상황이 달라진다. 왜냐하면 좌표를 고정할 때 자속이 변하는 상황([math(\displaystyle \frac{d\Phi}{dt})])은 자석이 움직이는, 다시 말해 자석의 좌표가 변하는 경우에만 발생하기 때문이다. 다음 두 가지 상황을 생각해볼 수 있다.
1. 자석이 움직이고, 도체가 정지해 있을 때
자석이 움직이면 좌표계 상의 특정 단면(도체)을 통과하는 자속이 변화한다. 따라서, 패러데이 법칙에 따라 도체에 유도 기전력(전기 퍼텐셜, [math(\displaystyle V = -N \frac{d\Phi}{dt})])이 발생하고, 이 유도 기전력에 의해 도체에 전류가 발생한다.
2. 도체가 움직이고, 자석이 정지해 있을 때
이번에는 자석이 정지해 있으므로 이 좌표계에서 어떤 단면에 대해서도 자속의 변화는 없으며 유도 기전력은 발생하지 않는다. 그러나, 로런츠 힘에 따르면 전자는 자기장에 수직한 방향으로 움직일 때 자기력([math(\mathbf{F} = -e\mathbf{v \times B})])이 발생하여 전자의 운동방향과 자기장에 모두 수직한 방향으로 전자가 가속을 하게 된다. 이로써 전자가 힘을 받아 코일을 따라 회전하면서 전류를 만들게 된다.
1과 2는 겉으로 보기에는 오로지 자석과 도체의 상대속도에 의존하는 현상이지만 이를 두고 전자기학의 좌표 의존성으로 인해 완전히 다른 방식으로 설명되고 있다. 심지어 사용되는 방정식도 다르다.
하지만, 맥스웰 방정식은 두 경우에 대해 (이해하기 어렵지만) 결과적으로 같은 결론을 내고 있다. 당시 진공에서의 맥스웰 방정식에 의해 유도되는 전자기 복사의 속력(광속)이 상대속도 규칙을 준수하지 않는다는 점에서 전자기학에서의 상대성 원리 성립 가능성에 대해 의문시되고 있었으나, 아인슈타인은 이처럼 전자기학은 겉으로는 좌표계의 속도에 의존하는 것처럼 보이지만 실제 전자기 현상(그리고 전자기학의 설명)은 상대성 원리를 결과적으로 잘 따른다고 주장하였다.
아인슈타인은 이와 함께 마이컬슨 - 몰리 실험을 언급하면서 빛의 매질(에테르)을 찾는 실험은 모두 실패했다는 점에서 전자기학이 상대성 원리를 위배할 특별한 이유가 없다고 결론을 짓는다. 더 나아가, 두 관성 좌표계가 물리적 동등함을 알려주는 상대성 원리는 물리학에서 보다 근본적인 위치를 차지하는 핵심 원리이며 도체와 자석의 상호작용 역시 당시의 전자기학처럼 두 개의 독립적인 방정식으로 분리하는 것이 아니라 하나의 원리('상대'속도)로 설명하는 것이 보다 본질에 가깝다고 보았다.
4. 갈릴레이 변환에서[편집]
고전 역학에서는 관성 좌표계에 대하여 갈릴레이 변환
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을 채택한다. 가장 기본적인 물리법칙인 [math(F = ma)]가 어떻게 변환되는지를 살펴봄으로써 고전 역학에서 상대성 원리가 작동하는 양상을 확인할 수 있다. 두 관성 좌표계 [math(K, \,K')]에 대하여 [math(K')]이 [math(K)]에 대하여 [math(x)]축 방향으로 속력 [math(v)]로 등속 직선운동한다고 가정하자. 이 때 [math(K)]에서 물체가 운동 방정식
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을 따른다면, 좌표계 [math(K')]에서 [math(t' = t, \,\, x' = x - vt)]이므로
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[math(\displaystyle \quad\frac{d^2(x-vt)}{dt^2} = \frac{F'}{m})] [3]
[math(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m} = \frac{F'}{m})]
[math(F' = F)]
[3] 질량 [math(m)]이 변하지 않음을 이용한 것.
따라서, 뉴턴이 정의한 힘 [math(F)]는 상대성 원리를 따른다는 것을 알 수 있다. (갈릴레이 변환으로 정의되는) 모든 관성계에서, 임의로 주어진 힘의 크기는 뉴턴 법칙을 그대로 활용하여 일관되게 구할 수 있다.
5. 로런츠 변환에서[편집]
특수 상대성 이론은 로런츠 변환
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[4] [math(\gamma = \dfrac1{\sqrt{1 - \left( \dfrac vc\right)^2}})]
을 채택한다. 이 좌표 변환은 맥스웰 방정식이 상대성 원리를 따른다고 가정하여 얻은 것인데, 기존의 [math(F = ma)]에도 상대성 원리가 성립하는지 살펴보자. 갈릴레이 변환에서와 동일한 세팅에서, 좌표계 [math(K)]에서 운동 방정식
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이 성립한다고 하자. 이 때 좌표계 [math(K')]에서는
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[math(\displaystyle \quad\frac{d^2\left[\gamma(x - vt)\right]}{d\displaystyle \biggl[\,\gamma\biggl( t - \frac{vx}{c^2}\biggr)\biggr]^2} = \frac{F'}{m})]
이 되는데, 일단 보자마자 식이 엉망이 되고 있다. [math(F = F')]은 [math(\gamma = 1)], 즉 [math(v=0)]일 때에만 성립한다. 다시 말해, 좌표계의 속도가 광속에 비해 매우 작을 때에만 성립하는 근사식이다. 따라서, 상대성 이론이 사용하는 상대성 원리는 오로지 전자기학을 위한 것이지, 기존의 고전 역학하고는 충돌하고 만다. 상대성 이론이 전자기학 이외의 영역에서 힘을 발휘하기 위해선 고전 역학의 물리량들을 다시 정의할 필요가 있다. 예를 들어, 속도 [math(v)]는 [math(u = \gamma v)]로 교체하고, 운동량은 [math(p = mu = m \gamma v)]로 정의하면 힘을
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로 정리할 수 있다. 이 때 [math(\gamma)]는 (힘을 받는) 물체의 순간 속도로 계산한 것이다. 이는 실제로 특수 상대성 이론에서 일반화한 뉴턴의 운동법칙이며, 물체의 속력이 작아 [math(\gamma \approx 1)]이면 이 식은 그대로 고전 역학의 운동법칙이 된다.
6. 상대성 원리의 일반화[편집]
상대성 원리는 철저한 관찰법칙이며, 갈릴레이 변환이나 로렌츠 변환이라는 특수한 대칭군이 도입될 수 있는 근거의 역할을 한다. 뉴턴 이론에서는 물체의 힘을 가속도로 표현함으로써 이 원리가 실현된다.
그런데, 상대성 원리는 물리세계에 대한 좌표계의 역할을 암시한다. 좌표계는 물리적 과정을 서술하는 배경이 되지만 물리적 과정 자체에 직접 참여할 수는 없다. 예를 들어, 가속 좌표계를 택하면 정지하던 물체는 가속하게 되지만 이걸 가지고 힘이 생겼다고는 할 수 없다. 이러한 성질은 모든 좌표계의 공통된 특성이며, 특수한 좌표계에만 성립하는 성질의 것이 아니다. 다시 말해 상대성 원리란 물리법칙이 좌표계의 선택으로 달라져서는 안 된다는 것을 의미하며, 이것을 모든 좌표계에 대한 것으로 확장하는 것은 매우 자연스러운 발상이다.
이 때, 상대성 원리와 일반화된 상대성 원리의 물리적 의미는 전혀 다르다. 상대성 원리는 발견된 물리법칙을 기반으로 관성좌표계(정확히는 관성계 간의 좌표변환)를 수학적으로 정의하는 수단이 되며, 일반화된 상대성 원리는 "모든 좌표계에서 물리법칙이 동일하게 표현되도록 물리법칙의 형태를 일반화해야한다"는 방식으로 작동하여 서로 방향이 완전히 반대이다.(특수 상대성 이론에서 물리량들의 정의가 수정된 것은 좌표 변환이 바뀌었기 때문이다.) 다만, 어떤 방향이든 우리는 특정 상황에서의 물리법칙을 알아야만 한다. 기준이 되는 물리법칙이 있어야 그에 맞추어 특수한 좌표 변환을 알 수 있으며, 마찬가지로 특정 상황에서의 물리법칙을 알아야만 그것을 일반화했을 때 어떤 형태가 되는지 설명할 수 있다.
한 가지 예를 들어 "관성의 법칙"을 두 가지의 상대성 원리로 알아보자. 관성좌표계에서는 "관성 상태에 있는 입자는 등속도 운동을 한다"라고 표현될 수 있다. 이는 "직교 좌표계에서 직선은 기울기가 일정하다"라는 표현과 동등하다. 상대성 원리의 입장에서는 "직선의 기울기가 일정하게 유지되는 좌표계"를 찾는 게 목표가 된다. 그런데 일반적인 좌표계에서는 등속도 운동으로 표현되지 않는다. 공간 상의 속도나 가속도는 좌표계에 의존하는 표현이기 때문이다. 일반 상대성 원리는 좌표계에 맞춰 물리법칙을 수정한다. 따라서, 속도와 같은 표현을 일체 배제하고, 대신 "관성 상태에 있는 입자는 고유 시간이 가장 오래 걸리는 경로를 택한다"라고 바꾼다. 이러한 표현은 좌표계에 의존하지 않으며, "직선은 두 점 사이의 거리가 가장 짧은 경로이다"라는 표현과 동등하다. (쌍둥이 역설 참고)
[각주]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-10-27 15:27:04에 나무위키 상대성 원리(물리학) 문서에서 가져왔습니다.