계승(수학)

1. 개요[편집]

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階乘, factorial

기호로 간단하게 [math(n!)]로 나타내며 [math(1)]부터 [math(n)]까지의 자연수를 모두 곱하는 것을 의미한다. 팩토리얼이라고도 불린다.

문화어로는 차례곱이라고 하는데 [math(1)]부터 차례대로 곱한다는 의미[1]이다.

[math(\displaystyle n! = \prod_{k=1}^n k)]로 나타내기도 하는데, [math(k=1)]부터 [math(k=n)]까지 합 연산을 의미하는 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k)]처럼 [math(\displaystyle \prod)]는 곱연산을 의미한다.

고등학교 교육과정에서는 중복 순열 기호로 [math(\Pi)]를 쓰는 것도 있고, 여러개의 항을 곱하는 것을 거의 다루지 않다 보니 곱의 기호 [math(\displaystyle \prod)]를 가르치지 않기 때문에 계승을 접하는 확률과 통계, 수학 과목에서는 [math(n!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \cdots \times (n-1) \times n)]으로 배운다.[2]
그러나 이중 계승([math(!!=!_2)])[3]이나 다중 계승([math(\overbrace{!!! \cdots\cdots !!}^k = !_k)])[4], 상승·하강 계승 등의 심화 개념을 이해하려면 식을 거꾸로 기억하는 것이 좋다. 이는 나중에 HAN으로 넘어간다.

그러니까 [math(\displaystyle n! = \prod_{i=0}^{n-1} \left(n-i\right) = n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots\cdots 3 \cdot 2 \cdot 1)], 즉 [math(\boldsymbol n)]부터 [math(\boldsymbol 1)]씩 빼서 [math(\boldsymbol 1)]까지 곱하는 것으로 기억하자.

순열이나 조합 등 조합론의 여러 분야에서 빈번하게 쓰이는 기호이기 때문에 [math(n)]의 범위는 일반적으로 음이 아닌 정수로 확장, 즉 [math(n=0)]을 포함하는데, [math(0!)]은 특별히 [math(0!=1)]로 정의한다. 예를 들자면 서로 다른 [math(n)]개의 물건에서 [math(n)]개를 모두 뽑아 나열하는 경우의 수([math({}_n\mathrm P_n)])는 [math(n!)]인데, [math({}_n\mathrm P_r = \dfrac{n!}{\left( n-r \right)!})]이므로 [math({}_n\mathrm P_n = \dfrac{n!}{0!})]이며, 정의의 일관성을 유지하려면 [math(0!=1)]이어야 한다. 만약 [math(0! \ne 1)]이라면 순열 뿐만 아니라 조합론의 거의 모든 개념에서 일일이 경우를 나눠서 재정의 해야할 것이다. [math(n! = n \times \left( n-1 \right)!)] 등의 점화식 역시 [math(0!=1)]로 정의하면 자연수 범위에서 성립하는 걸로 만들 수 있다. 참고로 [math(1!=1)]이다.[5]
또한 [math(0!=1)]의 정의를 좀 더 직관적으로 이해해보자면 [math(1!=1)], [math(2!=2\times1)], [math(3!=3\times2\times1)], [math(4!=4\times3\times2\times1)]... 의 순서를 거꾸로 생각해 보는것이다.
[math(4!)]를 4로 나눠 [math(3!)], [math(3!)]를 3으로 나눠 [math(2!)], [math(2!)]을 2로 나눠 [math(1!)], 마지막으로 [math(1!)]을 1로 나눠 [math(0!)] 이므로 따라서 [math(1!/1=0!=1)]

계승은 매우 빠른 속도로 증가한다. (n/2)^n보다도 n!이 점근적으로 빨리 증가한다. 스털링 근사에 따르면 대략 (n/e)^n의 속도로 증가한다. [math(n=12)]까지의 값은 다음과 같다.

고작 10!까지만 해도 벌써 363만 정도이며 12!만 해도 4.8억 정도이다. 이 때문에 시간 복잡도에서 계승([math({\mathcal O}(n!))])이 튀어나오면 해당 알고리즘은 폐급 취급을 받는다.[6]

2. 하강 계승 / 상승 계승[편집]

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하강 계승(falling factorial) [math(n^{\underline k})]은 계승의 정의 [math(\displaystyle n! = \prod_{i=0}^{n-1}(n-i) )]에서 [math(i=n-1)]까지가 아닌 [math(i=k-1)]까지의 곱으로 정의된다. [math((n)_k)]로도 표기하기도 한다.
[math(k=0)]일 때는 [math(n^{\underline 0}=1)]로 정의된다. 쉽게 말하면, [math(n)]부터 [math(1)]씩 빼가면서 총 [math(k)]개를 곱하는 것이다. 예를 들어서 [math(23^{\underline{4}}=23\cdot22\cdot21\cdot20)]이다. 즉, [math(23)], [math(22)], [math(21)], [math(20)] 이렇게 [math(4)]개를 곱하는 것이다. 한편, [math(\dfrac{n!}{(n-k)!} = {}_n\mathrm P_k)]이므로 하강 계승은 곧 순열 [math({}_n\mathrm P_k)]와 동치임을 알 수 있다. 조합 기호 [math(\dbinom nk = \dfrac{{}_n\mathrm P_k}{k!})]를 이용하면 [math(n^{\underline k} = k!\dbinom nk)]로도 나타낼 수 있다.

이와 비슷하게, 상승 계승(rising factorial) [math(n^{\overline k})]은 하강 계승의 부분곱 식에서 [math((n-i))]를 [math((n+i))]로 바꾼 식으로 정의된다. [math(n^{(k)})]로 표기하기도 한다.
[math(k=0)]일 때는 [math(n^{\overline 0}=1)]로 정의된다. 쉽게 말하면, [math(n)]부터 [math(1)]씩 더해가면서 총 [math(k)]개를 곱하는 것이다. 예를 들어서 [math(23^{\overline{3}}=23\cdot24\cdot25)]이다. 즉, [math(23)], [math(24)], [math(25)] 이렇게 [math(3)]개를 곱하는 것이다. 한편, 조합과 비슷하게 위 식은 중복 조합 [math({}_n\mathrm H_k =\left(\!\!\dbinom nk \!\!\right) = \dfrac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!})]에서 등장하므로 [math(n^{\overline k} = k! \left(\!\!\dbinom nk \!\!\right))]로도 나타낼 수 있다.

하강 계승의 정의에서 [math(n)]에 [math(-n)]을 대입하면 다음과 같이 식이 바뀌면서 상승 계승에 대한 식으로 변한다.
즉, [math(n^{\overline k} = (-1)^k(-n)^{\underline k})]임을 알 수 있고, 반대로 [math(n^{\underline k} = (-1)^k(-n)^{\overline k})]도 성립한다. 상술한 바와 같이 하강 계승은 조합의 정의에서, 상승 계승은 중복 조합의 정의에서 등장하므로 위와 같은 관계는 조합과 중복 조합이 사실상 하나의 식으로 표현될 수 있음을 의미한다. 즉, [math(\left(\!\!\dbinom nk \!\!\right) = (-1)^k \dbinom{-n}k)]의 관계에 있다.

[math((n)_k)], [math(n^{(k)})]는 레오 아우구스트 포흐하머가 고안한 기호이며, [math(n^{\underline{k}})], [math(n^{\overline{k}})]은 커누스 윗화살표 표기법으로 유명한 도널드 커누스가 고안했다.

제1종 스털링 수, 제2종 스털링 수, 라흐 수, 베타 함수, 초기하함수를 정의할 때 쓰인다.

3. 정의역의 확장[편집]

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계승은 자연수에서만 정의되지만 [math(\Gamma)]로 표기하는 감마 함수를 이용하면 정의역을 복소수로 확장할 수 있다.[7] 즉, 감마 함수를 이용하면 [math(1.5!)] 같은 것도 계산할 수 있다는 것. 예를 들어 [math(\left(-\dfrac{1}{2}\right)!=\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt\pi)]이다. 그래서 이를 통해 순열이나 조합 같은 것도 실수, 복소수로 일반화가 가능하다!

일반 공학용 계산기에 [math(1.5!)] 따위를 넣으면 못 구해주지만, 어째서인지 구글 계산기나 일부 계산기에선 잘 구해준다.[8]

[math(n! = \Gamma\left(n+1\right))]이므로, 정수가 아닌 수를 넣으면 감마 함수로 구하도록 프로그래밍했을 것으로 추정된다.

4. 알고리즘[편집]

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계승 알고리즘은 컴퓨터에서 두 가지 형태로 구현할 수 있다.

unsigned int fact_iter (unsigned int n) { // 계승은 음이 아닌 정수에 대해서만 정의된다.

 if (n <= 1) return 1; // 1! = 0! = 1이므로 1을 반환한다.

 int result = n;
 for (int i = n - 1; i > 1; i--) result *= i; // n부터 하나씩 값을 줄여가며 그 값을 결과값에 곱한다.

 return result;
 
}

반복문(iteration, loop) 형태의 알고리즘

unsigned int fact_rcsv (unsigned int n) {

 if (n <= 1) return 1; // 1! = 0! = 1이므로 1을 반환한다.

 return n * fact_rcsv(n - 1); // n! = n * (n - 1)!이므로, n - 1에 대한 함수를 한 번 더 호출한다.
 
}

재귀(recursion) 형태의 알고리즘

두 알고리즘은 모두 시간복잡도가 [math(O(n))]이지만, 재귀 함수는 반복하여 호출할수록 메모리 공간을 더 차지하므로, 숫자가 커지면 반복문 알고리즘이 상대적으로 효율적이다.

4바이트인 int 자료형으로 하면 13!부터 int의 범위를 넘는다.[9] 8바이트인 long으로 하거나, 더 큰 수가 필요한다면 큰 수를 다루는 별도 모듈을 사용해야 한다.[10]

5. 기타[편집]

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이것을 기반으로 한 공대개그가 존재한다. 예를 들어 [math(3!)]를 '삼!'이라고 강하게 읽으면 문과, '삼 팩토리얼'이라고 읽으면 이과, 애똑이라고 읽으면 이론언어학 전공자, 3쾅이라고 읽으면 수학 귀신 독자라고 한다.[11] 다른 개그로 수학 문제를 잘못 계산한 척 해놓고 느낌표를 팩토리얼 기호로 해석하면 정답이 되는 식의 낚시(예)가 있고,[12] 가수 룰라의 노래인 3!4!를 3!×4!로 해석해서 3!=(3×2×1)=6, 4!=(4×3×2×1)=24이니까 (3×2×1)×(4×3×2×1)=6×24=144라는 식으로 해석하는 식이다. 또는 이러한 유머도 있다.[13]

문과생, 이과생: 230-220÷2가 몇인지 알아?

초등학생: 5!

문과생: 나눗셈부터 해야지.

이과생: 잘 아네.[14]

문과생은 숫자 5를 강조하기 위해 느낌표를 문장 부호로 쓴 것으로 알아듣고 복잡한 수식에서는 곱셈과 나눗셈을 먼저 해야 하는데 그냥 순서대로 계산한 것으로 생각했고, 이과생은 [math(5!)], 즉 5팩토리얼이라고 쓴 것으로 알아듣고 정답인 120을 같은 값인 [math(5!)]로 표현한 것으로 생각한 것이다. 40-32÷2를 4! 라고 대답하는 버전도 있으며 해석 역시 동일하다.

숫자 뒤가 아닌 숫자 앞에 느낌표를 붙이거나, 뒤집어서 붙이게 되면([math(!n)] 또는 [math(n¡)]의 꼴, [math(n)]은 자연수) [math(n)]개의 원소에 대한 완전순열(derangement)의 수를 의미하게 되며, 이 때는 준계승(subfactorial)이라 부르게 된다. 완전순열은 섞인 모자들 속에서 사람들이 아무도 자기 모자를 집어가지 않는 경우의 수 등을 셀 때 쓰이며, [math(!n)]의 공식은 [math(n!)]보다 복잡하다. 자세한 내용은 완전순열 항목으로.

6. 관련 문서[편집]

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• 수학 관련 정보
• 팩술
• 소수 계승