교환자
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1. 개요[편집]
交換子 / commutator
수학 및 물리학에서 사용되는 이항연산 기호 중 하나로, 보통 교환법칙이 '실패'하는 정도를 나타내는 양으로 생각된다. 분야에 따라서 정의와 개념이 서로 다르지만, 이런 류의 개념들이 다 그렇듯이 조금만 파고들면 모두 다 밀접하게 관련되어 있다.
2. 물리학에서의 교환자[편집]
물리학, 특히 양자역학에서의 교환자는 보통 두 '연산자' [math(A,B)]에 대해 정의되며, 나름의 물리학적 의미를 가진다. 반대/상보적인 개념으로 반교환자(anticommutator)가 있다.
2.1. 정의[편집]
교환자 연산은 [math([A, B] = AB - BA)]로 정의한다.
반교환자 연산은 [math(\{A, B\} = AB + BA)]로 정의한다.
경우에 따라 교환자와 반교환자를 각각 [math([\ \ ]_+)]와 [math([\ \ ]_-)]로 표현하기도 한다. (주로 편의를 위해 둘을 한번에 [math([\ \ ]_\pm)]처럼 표기하기 위해서이다.)
잘 보면 알겠지만, 교환법칙이 성립되는 집합(체)의 원소끼리 교환자를 계산하면 당연히 0이 나오고, 반교환자는 두 배의 값이 나온다. 그렇다면 대체 이것을 어디에 써먹을 수 있을까? 잘 찾아보면 교환법칙이 성립하지 않는 많은 수학적인 대상, 또는 물리적인 연산자들이 있다. 그 중 가장 잘 알려지고 직관적으로 명백한 예는 행렬이다.[1]
2.2. 성질[편집]
- [math([A,A] = 0)]
- [math(\{A,A\} = 2A)]
- [math([A,B] = -[B,A])]
- [math([A+B,C] = [A,C] + [B,C])]
- [math([AB,C] = A[B,C] + [A,C]B)]
- [math([A,BC] = \{A,B\}C - B\{A,C\})]
- [math(e^A B e^{-A} = B + [A,B] +\dfrac1{2!} [A,[A,B]] +\dfrac1{3!} [A,[A,[A,B]]] +\cdots)]
2.3. 양자역학에서의 사용[편집]
물리학에서는 양자역학을 공식화해서 배우다 보면 무수한 연산자들을 쓰게 되고, 그것들 간의 교환자나 역교환자를 계산할 일이 많다. (물리의 연산자들은 일반 변수나 함수와 구별하기 위해 보통 [math(\hat A)]와 같이 기호 위에 모자를 씌워 표현한다.) 애초에 양자역학 자체가 [math([\hat x, \hat p] = i\hbar)]로부터 출발하며, 양자역학의 한 공식화 방법인 하이젠베르크 운동방정식에선, 어떤 임의의 연산자 [math(\hat A)]의 시간에 따른 진화를 교환자를 이용해 다음과 같이 계산한다.
[math(
\dfrac{{\rm d}\hat A}{{\rm d}t} = \dfrac1{i\hbar} [\hat A, \hat\mathcal H]
)]
[1] 사실 힐베르트 공간에 작용하는 물리적인 연산자들은 전부 행렬에 대응시킬 수 있다.
여기서 [math(\mathcal H)]는 양자장의 해밀토니언이다. 양자장론에서는 서로 공액 관계에 있는 장들을 교환자 혹은 역교환자를 이용해 양자화시키는 이차양자화 통해 양자역학적인 다체문제를 기술하는 완전히 새로운 물리를 만들어 낸다. 교환자를 사용하면 보손을, 역교환자를 사용하면 페르미온을 만들어낼 수 있다.
3. 수학에서의 교환자[편집]
분야마다 서로 다른 개념이 되므로 유의하자. 물론 모두 연관되어 있다.
3.1. 군론에서[편집]
군 [math(G)]의 두 원소 [math(a)], [math(b)]의 교환자는 [math([a,b] = aba^{-1}b^{-1})]로 정의된다.
유한군의 이론에서는 교환자 자체보다는 교환자들로 생성되는 군인 교환자 부분군(commutator subgroup) [math(G'=[G,G])]이 더 큰 의미를 가질 때가 많다. 이 [math(G')]는 군의 몫(quotient) [math(G/H)]이 가환군이 되게 하는 최소의 군이라고 해석될 수도 있다. 따라서 군을 가환군의 열로 분해할 때, 즉 solvable series 등을 생각할 때 중요하게 사용되는 개념이다.
여담으로, 군론의 교환자 개념은 커뮤테이터라는 루빅스 큐브의 고급 해법 이론으로 자주 사용된다.
3.2. 행렬에서[편집]
위처럼 [math([A,B] = AB - BA)]로 정의된다. 다만 선형대수학 자체에서 깊게 다루지는 않고, 아래의 리군의 경우에서 주로 사용하게 된다. 사실 무한차원 행렬을 수학에서 '엄밀하게' 정의하려면 함수해석학 등 대학원 과정 이상의 고급 이론이 필요하기 때문에 넘어가는 이유이기도 하다.
교환자의 성질은 무한차원과 유한차원일 때 매우 큰 차이가 있다. 유한차원에서 교환자의 주대각합은 항상 0이므로 교환자는 항등행렬이 될 수 없지만, 무한차원에서는 물리학의 예처럼 버젓이 [math([\hat x, \hat p] = i\hbar)] 등이 일어나고 있다.
3.3. 미분기하학에서[편집]
여기서부터는 리 괄호 및 리 브라켓(Lie bracket)이라는 이름으로 더 많이 불린다.
미분다양체 위의 벡터장 [math(X)]와 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(X)]에 대한 미분 [math(Xf)]를 [math(Xf(p) = {\rm d}f|_p (X(p)) )]로 정의할 수 있다. 따라서 벡터장과 1계 미분연산자 사이에 일대일 대응이 존재한다.
두 벡터장 혹은 1계 미분연산자 [math(X,Y)]가 있을 때, 두 연산자의 합성 [math(XY)]는 일반적으로 2계 미분이므로 벡터장으로 쓸 수 없다. 하지만 흥미롭게도 [math(X(Yf)-Y(Xf))]를 계산하면 2계 미분 항들이 모두 소거되면서 1계 미분연산자가 되는데, 이에 대응되는 연산자 혹은 벡터장을 교환자 혹은 리 괄호 [math([X,Y])]로 정의한다.
3.4. 리 군(Lie group) 이론에서[편집]
보통 리 군(Lie group)은 주어진 벡터 공간 위에 작용하는 선형사상의 연속군 [math(G)]를 말한다. (더욱 추상적인 정의를 생각할 수도 있지만 생략한다.) 이 때 [math(G)]의 리 대수(Lie algebra) [math(\mathfrak{g} = \text{Lie}(G))]를 [math(G)]의 항등원에서의 접평면으로 생각하면 이는 행렬과 동일시될 수 있고, 행렬 지수 연산에 의해 [math(A \in \mathfrak{g} \leftrightarrow e^{A} \in G)]의 대응관계가 성립함도 보일 수 있다.[2]
이때 [math(\mathfrak{g})]의 행렬 교환자는 [math(G)]의 군 교환자의 미분이 된다. 엄밀하게는
[math(
[A,B] = \dfrac{\partial^2}{\partial t \partial s} [e^{tA}, e^{sB}]
)]
[2] 주의: 양자역학에서는 [math(A \in \mathfrak{g} \leftrightarrow e^{iA} \in G)]의 대응을 사용하므로 약간 관습이 다르다.
가 성립. 좌변의 교환자는 군론에서의 교환자이고, 우변의 교환자는 행렬의 교환자이다. 한편 [math(\mathfrak{g})]를 [math(G)]에 불변인 1계 미분연산자들의 집합으로 생각하면, 미분기하학 관점의 두 연산자의 리 브라켓과 위의 행렬 교환자도 동일하다는 것도 보일 수 있다. 결국 이 배경에서 모든 교환자의 개념들이 대통합되는 것이다.
3.5. 물리학과의 연관성[편집]
양자역학에서는 연산자를 행렬로 나타내는 것이 하이젠베르크 사고방식이고, 파동함수에 대한 미분연산자로 생각하는 것이 슈뢰딩거 방정식의 프레임이다. 따라서 행렬의 교환자, 미분연산자의 교환자로 각각 생각을 하면 된다. 물론 둘이 동치이므로 서로 이어질 수 있다.
수학의 교환자에 대한 다양한 사고방식을 오갈 수 있으면 물리학의 교환자에 대해서도 여러 고찰을 해볼 수 있다.
양자역학의 많은 경우에서 물리량에 대응되는 에르미트 연산자끼리 합성하면 별다른 의미가 없고, 교환자나 반교환자를 통해서만 물리량이 나오는 것을 많이 경험했을 것이다. 리 대수 관점에서 보면 이는 [math(\mathfrak{g})]가 행렬곱에 의해 닫혀 있지 않지만 리 브라켓에 대해서는 항상 닫혀 있는 것과 대응된다. 미분작용소 관점에서도 1계 미분작용소의 합성 자체는 2계까지 가야 설명이 가능한 것과 비슷하다.
한편 리군의 교환자 식에서 한 번만 미분을 하면 나오는 [math(e^{tA} B e^{-tA})]의 식은 [math(\mathfrak{g})]에 작용하는 [math(G)]의 일종의 '좌표변환'(엄밀히 adjoint action이라 부르는)이라 생각해 볼 수 있고, 따라서 교환자는 '좌표변환의 미분'으로도 해석할 수 있다. 하이젠베르크 묘사로 생각하면 [math([A,B])]는 연산자 [math(B)]가 좌표변환 [math(e^{tA})]에 따라 미세하게 어떻게 변하는지를 나타낸 것이다.
3.6. 성질[편집]
리 대수의 관점에서는 [math(\mathfrak{g})]가 곱에 대해 닫혀 있지 않으므로 연산자의 곱을 생각할 수 없다. 따라서 교환자의 본질적인 성질은 사실 다음 둘로 요약된다.
- 반대칭 선형성
- [math([A,A] = 0)]
- [math([A,B+C] = [A,B] + [A,C])]
- 야코비 항등식
- [math([A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0)]
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