0과 1 사이의 수

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수와 연산
Numbers and Operations

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1. 개요
2. 성질
3. 이용
4. 목록
5. 관련 문서



1. 개요[편집]

the real numbers greater than 0 and less than 1

[math(x \in \mathbb{R}, 0<x<1)]로 정의되며 구간으로 표시하면 [math((0,1))]로 나타내어진다. 이 수를 특칭할 만한 용어는 아직까지 없다. 참고로 진분수(proper fraction)는 무리수를 포함하고 있지 않기 때문에 충분조건·하위개념에 지나지 않으며[1] 그 자체가 이 용어를 대변하기엔 좁은 개념이다. '확률값' 역시 0과 1을 포함([math(x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 1)])하고 있으므로 이 용어를 대변할 수 없으며, 말그대로 확률값으로 해석될 때가 아니고선 오히려 혼란을 줄 여지가 있다. 단위구간(unit interval)은 보통 0과 1을 포함하여 그 사이의 수로 이루어진 닫힌 구간이므로, '열린 단위구간(open unit interval)'을 이용하여 지칭할 수 있다.

사실 해당 용어가 없는 이유는 굳이 이름 붙일 필요가 없기 때문이다. 가령 "0과 1 사이의 임의의 수 [math(x)]에 대해 명제 [math(P(x))]가 성립한다"는 명제는 다음과 같이 적을 것이다.
  • 임의의 [math(x\in(0, 1))]에 대해 [math(P(x))]가 성립한다.
  • [math(P(x))] holds for an arbitrary [math(x\in(0, 1))].
이와 같이 구간 표현이라는 간명하고 널리 공유되는 표기 대신 굳이 새로운 이름을 붙이는 게 불필요하다. 입말로도 '0과 1 사이의 수'나 'a number between 0 and 1'은 다소 길긴 하지만, 이들이 이미 널리 쓰이는 중에 새로운 용어가 만들어진다고 하더라도 대다수의 사람들에게 새 용어가 퍼져 통용될 가능성은 거의 없다.

2. 성질[편집]

0과 1 사이의 수 [math(\psi)]의 성질은 다음과 같다.
  • [math(\lfloor \psi \rfloor = 0)]
    • [math(\{\psi\} = \psi - \lfloor \psi \rfloor = \psi)]
  • [math(\lceil \psi \rceil = 1)]
  • [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi^n = 0)]
  • [math(\displaystyle \lim_{n \to -\infty} \psi^n = \infty)]
  • [math(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \psi^n = \frac{1}{1-\psi})]
  • [math(\bold{1}_{\mathbb{N}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{Z}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{R}}(\psi) = 1)][2]
  • [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi \uparrow \uparrow n= -\frac{W(-\ln \psi)}{\ln \psi})][3]인 경우에만 수렴한다. 나머지 수에 대해서는 복소해석학을 이용해 해석적 확장을 해야 한다.]

3. 이용[편집]

지수함수, 로그함수에서 '밑'의 정의역으로 쓰인다. 지수함수에서는 밑의 정의역에 따라 치역의 증감이 달라지기 때문이다.
  • 1보다 큰 수
  • 0보다 크고 1보다 작은 수
  • 0보다 작은 수[4]
특히 지수함수의 경우 1인 경우는 [math(y=1)]과 똑같고, 로그함수는 로그의 정의상 밑이 1이 될 수 없다.

비표준 해석학에서는 '무한소'라고 불리는, 0에 무한히 가까우면서도 0은 아닌 가상의 수를 정의해서 사용한다.

원뿔곡선 중 타원의 이심률이 0과 1 사이이다.

4. 목록[편집]

0과 1 사이의 수의 개수는 무한하며 이 중 따로 이름이 붙여진 것들을 서술한다. 구체적인 값은 소수점 7번째 자리에서 반올림한다.[출처]



항목을 보면 알겠지만 대부분이 무한급수 연구의 부산물인 경우가 많다.[5][6] 하지만 이름이 붙을 정도로 중요성은 매우 높은데, 위의 오일러-마스케로니 상수만 봐도 감마 함수와 상당히 연관되어 있고, 카탈랑 상수와 가우스-쿠즈민-비어징 상수는 정수론의 끝판왕인 리만 가설의 중요한 떡밥 중 하나이다. 1보다 작은 수라고 결코 무시할 게 아닌 셈.

이외에도 이름은 없지만 [math(i^i)](약 0.207880)[7]로 두고 계산할 때가 많다.] 같은 특수한 꼴로 유도되는 수가 존재한다.

5. 관련 문서[편집]

파일:크리에이티브 커먼즈 라이선스__CC.png 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-10-14 06:58:55에 나무위키 0과 1 사이의 수 문서에서 가져왔습니다.

[1] 즉, 진분수면 0과 1사이의 숫자에 포함되나 그 역은 성립하지 않는다.[2] [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\psi), \bold{1}_{\mathbb{I}}(\psi))]의 값은 해당 수의 유리수 여부에 따라 다르다. 가령 [math(\dfrac{1}{2})]는 유리수이므로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0)]이지만, 오메가 상수 [math(\Omega)]는 무리수이므로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\Omega\right) = 0, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\Omega\right) = 1)]이다. 다만 오일러-마스케로니 상수 같은 경우 유리수/무리수 여부가 아직 밝혀지지 않았으므로 현 시점에서는 '부정'이다.[3] [math(\uparrow \uparrow)]는 4차 연산자, [math(W)]는 람베르트 W 함수이다. 이 함수는 실수 범위에서 0과 1 사이의 수를 비롯해서 [math(\left(1, \sqrt[e]{e}\;\!\right])[4] 이 경우 복소평면에서만 나타낼 수 있다.[출처] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constant#Simple_representatives_of_sets_of_numbers를 참고함.[5] 위 항목의 수를 보면 알겠지만 아예 초월수로 인정을 받았거나, 무리수임이 확실시되는 수들이다. 다만 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수는 유리수인지 무리수인지 알려져 있지 않다.[6] 위 목록 중 무한급수와 관계 없어 보이는 녀석들이 몇 있지만 챔퍼나운 상수, 코플랜드-에르되시 상수는 무한급수 점화식을 세울 수 있으며, 이상적분으로 정의된 2학년의 꿈 상수도 이리저리 풀다 보면 무한급수([math(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n \ln^n x}{n!})])가 튀어나온다. 그리고 오메가 상수를 정의하는 람베르트 W 함수가 무한급수([math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)} x^n)])로 정의된다.[7] [math(i^i = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)})]([math(k \in \mathbb{Z})])에서 [math(k=0)]으로 지정했을 경우. 보통 [math(\theta \in (-\pi,\pi])

관련 문서