위상수학자의 사인곡선
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1. 개요[편집]
topologist's sine curve
위상수학자의 사인곡선이란 2차원 공간 [math(\mathbb R^2)] 위에 정의된 특수한 집합으로, 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아닌 대표적인 예시이다.
베이스 드럼 소리 파형이 이것과 비슷하게 생겼다.
2. 정의[편집]
함수 [math(f: \mathbb R - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb R)]를
[math(f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac 1x, & \textsf{if }x \neq 0 \\ 0, & \textsf{if }x = 0 \end{cases})]
라고 정의하자. 이 때 [math(f \rvert _{(0, 1]})]의 그래프 [math(T \subset \mathbb R^2)]은 다음과 같다.
[math(T = \left\{ (x, f(x)) \in \mathbb R^2 | x \in (0, 1] \right\} = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \in \mathbb R^2 \ \bigg| \ x \in (0, 1] \right\})]
여기서 [math(T \subset \mathbb R^2)]의 폐포
[math(\overline T = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \bigg| \ x \in (0, 1] \right\} \bigcup \left\{ (0, y) \ | \ y \in [-1, 1] \right\} \subset \mathbb R^2)]
을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다.
3. 개형[편집]
이므로, [math(\overline T)]는 [math(\left( \dfrac 1{n \pi}, 0 \right))], [math(\left( \dfrac 1{\left(2n + 1/2 \right) \pi}, 1 \right))], [math(\left( \dfrac 1{\left(2n + 3/2 \right) \pi}, -1 \right))]([math(n \in \mathbb N)])와 같은 점을 모두 포함한다. 이때 [math(n)]이 [math(1)] 증가할 때마다, 사인 곡선 한 주기를 지나게 되므로 우리의 [math(\overline T)]는 [math(0)]으로 다가갈수록 주기가 짧아진다. 또 임의의 실수 [math(\gamma \in [-1, 1])]에 대하여 [math(\sin \phi = \gamma )]인 [math(\phi \in [0, 2 \pi])]가 존재하므로, 다음과 같은 [math(T)]의 부분집합을 생각할 수 있다.
[math(T_\gamma = \left\{ \left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right) \bigg| \ n \in \mathbb N \right\})]
[math(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac 1{2n \pi + \phi} = 0)]이므로, [math(T_\gamma )]의 폐포는 [math(\overline {T_\gamma } = T_\gamma \ \cup \ \left\{ (0, \gamma ) \right\})]이다. 따라서 [math(\lim \limits_{x \to 0+} f(x))]는 존재하지 않는다.
4. 성질[편집]
5. 의의[편집]
이 집합의 존재로 인해, 연결 공간과 경로 연결 공간은 같은 개념이 아님을 알 수 있다.
추가로 모든 경로 연결 공간이 국소 경로 연결(locally path connected)[1] 이지는 않다는 것을 보일 때에도 이 곡선이 사용된다. 다만 약간 변형된 버전이 사용된다. 위 곡선에서 오른쪽의 사인곡선을 적당한 중간에서 자른 다음, 자른 지점으로부터 빙 돌아 반대쪽 수직 선분 위의 아무 점을 잇는 곡선을 하나 그리자. 이 추가로 빙 돈 경로 덕분에 이제 전체 곡선은 경로 연결 공간이 되었지만, 국소 경로 연결은 아니다.[2]
[1] 임의의 점 [math(p)]와 [math(p)]의 임의의 열린 근방(open neighborhood)에 대하여 그 근방에 포함되는 경로 연결인 [math(p)]의 열린 근방이 존재하면, 그리고 그럴 때에만 해당 공간을 국소 경로 연결이라고 부른다. 동치인 조건으로는 그 공간의 모든 경로 연결 성분이 열린 집합인 것이다.[2] 사인곡선의 적당한 부분을 지워서 (심지어 점 하나만 지워서) 얻은 열린 집합은 원래 위상수학자의 사인곡선과 별반 다를 게 없는, 따라서 경로 연결이 아닌 열린 집합이게 된다.
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