힐베르트의 호텔

1. 개요[편집]

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수학자 다비드 힐베르트가 제기한 역설. 힐베르트의 무한 호텔 역설(Hilbert's Paradox of the Grand Hotel)으로도 불린다. 무한대의 특성을 직관적으로 보여주는 예시이다. 힐베르트가 직접 출판하진 않았지만 1924년 1월 괴팅겐에서 강의를 통해 이 역설을 언급했다.[1] 이후 1948년 조지 가모프의 책 '1, 2, 3 그리고 무한'에 등장한 것을 계기로 수학이나 물리학을 소재로 한 글에서 무한의 성질을 나타내는 예시로 널리 쓰이게 되었다.

2. 특성[편집]

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힐베르트는 ''객실 수가 무한한 호텔이 있으며 이 호텔의 모든 객실은 차 있어서 빈 방이 없다'고 가정했다. 일반적인 호텔이라면 객실이 가득 차 있을 경우 새로운 손님이 왔을 때 빈 방을 마련하는 것이 불가능하다. 하지만 힐베르트의 호텔은 객실 수가 무한하므로, 즉 '끝 방'이라는 게 없으므로, 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 3번 방으로, [math(n)]번 방의 손님을 [math((n+1))]번 방으로 옮기는 식으로 모든 투숙객을 원래 있던 방의 바로 옆 방으로 옮기도록 하여, 언제나 빈 방을 마련할 수 있다.

여러 명, 즉 [math(m)]명의 손님이 온 경우에도 간단히 모든 투숙객을 [math(+m)]번 방으로 옮기면 된다. 즉, [math(n)]번 방의 손님을 [math((n+m))]번 방으로 옮기면 된다.

힐베르트의 호텔에 무한히 많은 손님을 태운 버스가 와서 빈 방을 마련해야 할 때에는, 1번 방의 손님을 2번 방으로, 2번 방의 손님을 4번 방으로 보내는 식으로 모든 투숙객에게 객실 번호의 두 배가 되는 방으로 옮기도록 지시하면 무한한 홀수의 빈 방을 마련할 수 있다. 수식으로 나타내면 다음과 같다. 우선, 호텔의 [math(n)]번 방의 손님을 [math(2n)]번 방으로 옮긴다. 그리고 버스의 승객들에게 번호표를 주고, [math(m)]번 번호표를 가진 승객을 호텔의 [math((2m-1))]번 방에 묵게 하면 된다.

마지막으로, 무한히 많은 손님을 태운 버스가 무한히 많이 와서 그 손님들의 빈방을 마련해야 할 때는 좌표평면의 격자점을 이용하면 된다. 일단 투숙객들에게 빨간색 번호표와 파란색 번호표를 준다. 빨간 번호표에는 1이 쓰여 있고 파란 번호표에는 자기가 묵었던 방 번호가 쓰여 있다. 그 다음, 버스를 차례로 2호차, 3호차, 4호차, ..., [math(x)]호차, ...라고 부르고(1호차는 없다.), 각 호차 버스 안의 승객들에게 호차 번호가 적힌 빨간 번호표를 준다. 그리고 각 호차 버스 내의 승객들에게 각각 자기 승차번호가 적힌 파란 번호표를 준다.[2] 모든 번호표를 다 줬다면, 빨간색 [math(x)]번 파란색 [math(y)]번 번호표를 가진 사람[3]을 호텔의 [math(\dfrac{(x+y)(x+y-1)}2+1-x)]번 방에 묵게 하면 된다.

그 외에 다양한 패턴의 손님들이 들어와도 계속 방을 줄 수 있다는 이론이다.

위 영상에도 언급되지만 이 경우는 작은 범위의 무한만을 생각하는 경우에 해당된다. 위의 상황에서 다룬 경우는 어디까지나 자연수의 무한에만 해당되는 것이다. 자연수의 집합을 제외한 실수 범위까지 포함하게 되면 위와 같은 일반적인 사고로는 해결할 수 없게 된다.[4]