베르 범주 정리
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1. 개요[편집]
베르 범주 정리(Baire category theorem)는 위상수학과 함수해석학의 정리로, 어떤 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 정리이다.
2. 베르 범주 정리[편집]
2.1. 베르 범주[편집]
위상공간 [math(X)]의 부분집합 [math(E\subseteq X)]가 어느 곳에서도 조밀하지 않은 집합들의 가산 합집합이면 [math(E)]를 제1 범주 집합(set of the first category)이라고 한다. 제1 범주의 집합이 아닌 집합을 제2 범주 집합(set of the second category) 베르의 범주는 범주론과는 무관하다.
조밀한 열린 집합의 임의의 가산 교집합이 조밀한 위상공간을 베르 공간(Baire space)이라고 한다. 이는 다음과 동치이다.
- 임의의 제1 범주 집합의 여집합이 조밀하다.
- 제1 범주인 열린 집합은 공집합 뿐이다.
2.2. 정리[편집]
위상공간 [math(X)]가 베르 공간일 충분조건은 다음과 같다.
- (제1 범주 정리) [math(X)]가 완비 거리화 가능 공간이면 [math(X)]는 베르 공간이다.
- (제2 범주 정리) [math(X)]가 국소 컴팩트 하우스도르프 공간이면 [math(X)]는 베르 공간이다.
2.3. 증명[편집]
2.3.1. 제1 범주 정리의 증명[편집]
2.3.2. 제2 범주 정리의 증명[편집]
3. 적용[편집]
함수해석학에서 바나흐 공간의 열린 사상 정리, 닫힌 그래프 정리, 균등 유계 원리를 증명하는 과정에서 활용된다.
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