2학년의 꿈
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1. 개요[편집]
2학년의 꿈(sophomore's dream)은 다음 두 등식[1] 을 가리킨다.
- [math(\displaystyle \int^{1}_{0} x^x\,{\mathrm{d}}x = \lim_{b \rightarrow 0^+} \left(\int^{1}_{b} x^x\,\mathrm{d}x \right) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(-n)^n} \approx 0.7834305107 \cdots)]
- [math(\displaystyle \int^{1}_{0} \frac1{x^x}\,\mathrm{d}x = \lim_{b \rightarrow 0^+} \left(\int^{1}_{b} \frac1{x^x} \,\mathrm{d}x\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^n} \approx 1.291285997 \cdots)]
2. 상세[편집]
틀린 항등식 [math((x+y)^n = x^n + y^n)]을 1학년의 꿈이라고 부르는 것처럼, 적분 기호를 무한합 기호로 순진하게 바꿔놓고 그래도 된다고 우기는 해맑은 2학년의 꿈이라고 하는 것이다. 그러나 다행히도 1학년의 꿈이 틀린 것과는 달리 이 2학년의 꿈은 옳다. 자세한 증명은 해당 링크 참고.
발견자는 로피탈의 정리를 발견한 요한 베르누이(1667~1748)이다. 요한 베르누이는 베르누이 미분방정식을 발견한 야코프 베르누이(1654~1705), 베르누이 정리를 발견한 다니엘 베르누이(1700~1782)와 함께 베르누이 가문의 사람이다.
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[1] Bernoulli, Johann, Principia Calculi exponentialium seu percurrentium. Acta Eruditorum (Mar. 1697), 125–133