몫미분
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1. 개요[편집]
몫미분(몫의 미분법[1] , quotient rule)은 다음 유리함수의 도함수를 구하는 공식이다.
2. 증명[편집]
2.1. 미분계수를 이용한 증명[편집]
함수
에 대하여 그 미분 계수는
위 결과의 분자에 [math(f(x)g(x))]를 빼고 더하면,
이상에서
한편, [math(f(x)=1)]이면 다음이 성립한다.
2.2. 곱미분을 이용한 증명[편집]
함수
에 대하여 양변에 [math(g(x))]를 곱하면,
이때, 곱미분을 이용하여 [math(f(x))]의 도함수를 구하면,
[math(F'(x))]에 대하여 정리하면,
3. 활용[편집]
4. 기타[편집]
- 몫미분을 미분계수의 정의로 다루기엔 굉장히 복잡하기 때문에 아래처럼 곱미분을 먼저 다룬 뒤 그것을 활용하는 방법도 있다. 대학수학능력시험에서는 위에 나오는 덧셈에 대한 역원[2] 을 증명 기법으로 쓰는 사고방식을 주로 요구하기 때문에 직접 증명하고 나아가는 것이 좋다.
- 곱미분을 이용한 증명은 고교 교육 과정에선 다루지 않으나, 고교 이상의 교육과정에서는 간간이 쓰이기 때문에 한번 증명해 보는 것이 좋다.[3]
- 애석하게도 몫미분과는 달리 몫에 대한 적분은 일반화된 해법이 없다.[4] 만약 몫의 부정적분이 초등함수라면, 해당 역도함수는 리시 방법을 통해 구할 수 있다.
4.1. 고등학교 교육과정[편집]
5. 관련 문서[편집]
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[1] 현행 고교 교육과정에는 이 명칭으로 배움.[2] 일부 재치 있는 교육자는 수학에서 역원을 활용하는 테크닉에 대해서 "If the problem gets complicated, do nothing mathematically.(문제가 복잡해지면, 수학적으로 아무것도 하지 마라.)"라고 가르치기도 한다.[3] 학원에서는 이런 방법으로 증명하기도 한다.[4] 간단한 몫 적분인 [math(\displaystyle \int \frac1x \, \mathrm{d}x)]는 로그함수가 되며, 여기서 피적분함수의 분자에 지수함수, 삼각함수, 쌍곡선 함수가 오면 각각 지수 적분 함수, 삼각 적분 함수, 쌍곡선 적분 함수라는 특수함수가 된다.