축소구간정리

1. 개요[편집]

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縮小區間定理 / Nested Intervals theorem
해석학의 한 이론. 폐구간의 부분집합 중 폐구간인 부분집합으로 이루어진 부분집합열의 극한은 적어도 원소를 1개 이상 가진다는 정리다.

수학적으로 표현하면 다음과 같다.

2. 증명[편집]

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3. 응용[편집]

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이 정리를 이용한 대표적인 증명으로는 중간값 정리의 증명이 있으며, 그 외에도 역사상 가장 처음으로 이루어진 실수의 비가산성 증명법이 있다. 중간값 정리 증명은 해당 항목의 다른 증명 문단을 참조.

3.1. 실수의 비가산성 증명법[편집]

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게오르크 칸토어가 대각선 논법 이전에 증명한 방법이다. 증명 내용은 다음과 같이 귀류법을 이용하여 증명한다.

먼저 [math(\left[0,1\right])]이 가산집합이라고 가정하자.
그렇다면 [math(\left[0,1\right])]은 가산개의 원소를 가진 무한집합으로서 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math(\left[0,1\right]=\{x_1,x_2,\cdots\})]
이제, [math(\left[0,1\right])]의 첫번째 원소인 [math(x_1)]을 포함하지 않는 부분집합 중, 폐구간을 하나 잡아 [math(I_1)]라고 정의하자. 즉 [math(x_1 \notin I_1\subseteq\left[0,1\right])]이다.
이제 이를 계속 반복하자. 즉 [math(x_{n+1}\notin I_{n+1} \subseteq I_{n})]를 만족하는 폐구간열을 만들면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

• [math(\left[0,1\right]\supset I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset \cdots)]

따라서 축소구간정리에 의해 [math(\displaystyle \bigcap_{n\in \mathbb{N}} I_n\neq \emptyset)]이 되며, 이는 곧 적당한 자연수 [math(m\in\mathbb{N})]이 적어도 한개는 존재하여, [math(\forall I_n \ni x_m)]이 성립함을 의미한다. 하지만 위의 폐구간열을 정의한 내용에 의해 [math(\forall p>m)]에 대하여 [math(I_p\notni x_m)]이기 때문에 모순이 발생한다.
즉, 처음에 가정한 [math(\left[0,1\right])]이 가산집합이라는 것이 틀렸다는 것이 되며, 따라서 [math(\left[0,1\right])]은 비가산집합이다.(■)


[각주]