등차수열
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1. 개요[편집]
等差數列 / arithmetical sequence(progression)
[math(1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,\cdots)]처럼 연속한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열이라고 한다. 연속한 두 항에서, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 공차(common difference, 公差)라고 한다. 일반적으로 등차수열의 첫째 항을 [math(a)], 공차를 [math(d)]로 표기한다. 첫째 항은 초항(初項)이라고도 하며, 문자 [math(d)]는 difference의 머리글자이다.
등차수열은 연속한 두 항의 차가 일정하므로, 계차수열의 일반항이 상수식(공차)인 수열이다.
2. 일반항[편집]
수열 [math(\{a_{n} \})]이 공차가 [math(d)]인 등차수열이면 임의의 자연수 [math(k)]에 대하여 다음의 점화식이 성립한다.
[math(a_{k+1}-a_k=d)]
이에 따라 등차수열 [math(\{a_n\})]의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.
[math(a_n=a+(n-1)d)]
꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공차가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등차수열의 일반항을 정할 수 있다.
3. 등차중항[편집]
[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 등차수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 등차중항이라고 한다.
[math(\begin{aligned} b-a&=c-b \; \to \; b=\dfrac{a+c}{2} \end{aligned})]
곧, 등차수열의 연속한 세 항에서, 등차중항은 나머지 두 항의 산술평균이다. 예를 들어 등차수열 [math(a_n)]에 대하여 [math(a_6)], [math(a_7)], [math(a_8)]의 등차중항은 [math(a_7={(a_6+a_8)}/2)]이다.
4. 함수로 해석하기[편집]
등차수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d)]에 대하여 좌표평면에 [math((n,\, a_n))]을 나타내면 다음과 같다.
각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항인지를, [math(a_n)]좌표는 항의 값을 나타낸다. 등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 일직선상에 있다. 나아가, 각 점을 이은 직선의 기울기는 공차와 같다. 이렇게 보면, 등차수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 일차함수이다.
나아가, 등차수열의 연속한 세 항에 대하여, 등차중항을 나타내는 점은 나머지 두 항을 나타내는 점을 이은 선분을 [math(\boldsymbol {1:1})]로 내분하는 점이다.
이에 따라 [math(a_n)]에서 원래 [math(n)]은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 [math(n)]이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.
- 등차수열 [math(a_n=n+4)]에 대하여
- [math(a_5)]와 [math(a_6)]의 평균은 [math(a_{5.5}=5.5+4=9.5)]
- [math(a_8)]과 [math(a_9)]의 평균은 [math(a_{8.5}=8.5+4=12.5)]
- 위 두 값의 차는 [math(a_{8.5}-a_{5.5}=(8.5-5.5)d=3\cdot1=3(=12.5-9.5))]
5. 성질[편집]
등차수열 [math(\{a_n\})]과 음이 아닌 정수 [math(m)]에 대하여
- [math(a_{k+m}-a_k=md)]
- [math(a_k+a_l=a_{k\pm m}+a_{l\mp m})] (복부호 동순)
- 특히, [math(a_k+a_{k+2}=2a_{k+1})] (등차중항)
특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등차수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등차수열의 합을 구하는 문제로 자주 나온다.
[예제] -
6. 극한[편집]
등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d)]에 대하여 공차가 양수이면 등차수열의 항은 점점 커지고, 음수이면 점점 작아지며, 0이면 일정하므로
[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\; &(d>0)\\&a\; &(d=0)\\-&\infty\; &(d<0)\end{aligned}\end{cases})]
7. 등차수열의 합[편집]
등차수열의 합은 첫 항과 마지막 항을 더한 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나눈 값인데, 그 이유는 다음과 같다. [math(S_{n})]을 구할 때 첫째 항부터 [math(n)]번째 항까지 차례대로 더하든지 역순으로 더하든지 상관이 없다. [math(a_{n}=l)]이라 하면, [math(l=a+(n-1)d)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(S_{n})]에 대하여 정리하면,
[math(\displaystyle S_n=\dfrac{n(a+l)}{2} )]
각각 첫 항과 마지막 항을 뜻하는 [math(a)]와 [math(l)]은 [math(n)]에 관한 일차식이 되므로 [math(S_n)]은 이차식이다. [math(l=a+(n-1)d)]를 사용하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math(S_n=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2})]
한편, 수열의 합 공식으로 유도하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a+(k-1)d\}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (dk-d+a)\\&=\dfrac{n(n+1)}2d+(a-d)n\\&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n \\ &=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2}\\&=\dfrac{n( a+l )}{2}\end{aligned})]
7.1. 공식(합 → 일반항)[편집]
여기에서 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항을 구하는 유용한 공식이 나온다.
[math(a_n={S_n}'-\dfrac12d)]
쉽게 말해 [math(S_n)]을 미분한 뒤 [math(S_n)]의 최고차항의 계수를 빼면 [math(a_n)]이라는 것이다. 주의할 점은 [math(S_n)]이 첫째 항부터 [math(n)]번째 항까지 더한 값이며, 등차수열의 합이라는 것이다. [math(S_n)]이 첫째 항부터 더한 값이 맞는지 확인해야 하며, 등차수열이 아닌 수열에는 이 공식이 적용되지 않는다. 또한, 엄밀히 말해 이는 미분이 아니다. 미분이란 본디 접선의 기울기를 구하는 계산인데, 이 공식은 그것과 아무 상관이 없기 때문이다. 다시 말해 우연히 미분과 계산이 비슷해진 것일 뿐, 미분의 메커니즘이 수열의 합과 결부되어 나타나는 공식은 결코 아니라는 말이다.
7.2. 함수로 해석하기[편집]
등차수열의 합 역시 함수로 생각할 수 있는데,
[math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n\end{aligned})]
에 대하여 좌표평면에 [math((n, \, S_n))]을 나타내면 다음과 같다.
각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항까지의 합인지를, [math(S_n)]좌표는 합의 값을 나타낸다. 등차수열의 합은 이차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 이차함수의 그래프 위에 있다. 이렇게 보면, 등차수열의 합은 자연수만을 정의역으로 하는 상수항이 0인 이차함수이다.
7.3. 제2항부터 등차수열인 경우[편집]
앞서 밝혔듯이 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d\;(ad\neq 0))]의 합은
[math(S_n=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2})]
이기 때문에 [math(S_n)]은 상수항이 없는 이차식이다. 그렇다면 [math(S_n)]이 상수항이 있는 이차식이면 어떨까?
- [math(\boldsymbol{S_n=an^2+bn})]이면
- [math(a_n)]은 등차수열 [math(\boldsymbol{(n\geq 1)})]
- [math(\boldsymbol{S_n=an^2+bn+c\;(c\neq 0)})]이면
- [math(a_n)]은 등차수열 [math(\boldsymbol{(n\geq 2)})]
- [math(a_1=S_1)]
전자와 후자를 비교해 보자. [math(a_n=S_n-S_{n-1})]이므로 뒤에 [math(+c)]가 붙든 안 붙든 [math(a_n=2an+b-a)]로 똑같은 값이 된다. 그러나 [math(S_0)]이란 정의되지 않기 때문에 [math(\boldsymbol{a_n=S_n-S_{n-1}})]로 [math(\boldsymbol{a_1})]을 구할 수가 없고, [math(\boldsymbol{a_1=S_1})]임을 이용해야 한다. 따라서 [math(a_1)]의 값은 [math(S_1)]과 마찬가지로 [math(c)]만큼의 차이가 나며, [math(a_2)]부터는 모든 항이 같다.
다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.
[math(a_n)]의 다른 모든 항은 같고 [math(a_1)]만이 1의 차이가 나므로 [math(S_n)] 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.
7.4. 등차수열의 합의 최대·최소[편집]
앞서 밝혔듯이 등차수열의 합 [math(S_n)]은 이차식이므로, 최댓값 또는 최솟값이 존재한다. 일반적인 이차함수라면 무조건 최댓값 혹은 최솟값이 존재하지만, 등차수열의 합 [math(S_n)]은 자연수만을 정의역으로 하는 함수로 간주해야 하기에 성격이 다른 점만 주의하면 된다.
- [math(\boldsymbol{S_n})]이 감소하다가 증가
- [math(k)]가 커지면 [math(a_k)]의 값이 음수이다가 양수가 됨
- 공차가 양수
- 최솟값이 존재
- 최댓값은 존재하지 않음
- [math(\boldsymbol{S_n})]이 증가하다가 감소
- [math(k)]가 커지면 [math(a_k)]의 값이 양수이다가 음수가 됨
- 공차가 음수
- 최댓값이 존재
- 최솟값은 존재하지 않음
- [math(\boldsymbol{S_n})]이 계속 증가
- 공차가 양수
- 최솟값은 [math(S_1)]
- 최댓값은 존재하지 않음
- [math(\boldsymbol{S_n})]이 계속 감소
- 공차가 음수
- 최댓값은 [math(S_1)]
- 최솟값은 존재하지 않음
- [math(\boldsymbol{S_n})]이 일정
- 모든 항이 0, 공차도 0
- 최솟값과 최댓값은 모두 0
공차가 양수이면 [math(S_n)]의 최고차항의 계수도 양수이므로 그래프가 아래로 볼록하고, 공차가 음수이면 [math(S_n)]의 최고차항의 계수도 음수이므로 그래프가 위로 볼록하다. 실수 전체를 정의역으로 하여 [math(S_n)]의 그래프를 그리면, 최댓값 혹은 최솟값이 존재하는 경우에 한하여 [math(x)]좌표가 자연수이고 꼭짓점과의 [math(y)]좌표의 차가 가장 작은 점의 [math(y)]좌표가 등차수열의 합의 최댓값 혹은 최솟값이 된다.
8. 활용[편집]
자세한 내용은 원리합계 문서를 참고하십시오. 9. 기타[편집]
- [math(a_n)]이 등차수열이면 0이 아닌 상수 [math(k)]에 대하여 [math(k^{a_n})]은 등비수열이다.
- 초등학교 때 뛰어 세기를 통해 같은 수를 반복적으로 더하는 조작을 체득하고, 이를 밑바탕으로 하여 2015 개정 교육과정에 따라 고2 이상에서 수학Ⅰ에서 등차수열을 배운다.
- 등차수열의 합 공식을 유도하는 과정에 대한 에피소드가 유명하다. 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 어릴 적에 '1부터 100까지 다 더하라'는 선생의 지시에 이 아이디어를 떠올리고 금방 5050이라고 답했다고 한다.
- 좌표평면에서 이차함수의 그래프 위의 점들을 이은 다각형에 대하여, 꼭짓점의 개수와 좌우 양끝 점의 [math(x)]좌표가 고정되어 있을 때 다각형의 넓이가 최대가 되려면 다각형의 모든 꼭짓점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루어야 한다. 특히, 삼각형에 대해서는 양끝 점이 고정되어 있을 때 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 나머지 한 점의 [math(x)]좌표는 양끝 점의 [math(x)]좌표의 평균이다. 이에 대한 자세한 설명은 다항함수/공식 참고.
10. 관련 문서[편집]
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