사영 정리

1. 개요[편집]

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[math(\angle {\rm A}=90 \degree)]인 직각삼각형 [math(\rm ABC)]에서 점 [math(\rm H)]는 점 [math(\rm A)]에서 선분 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발이다.



이 때 다음 네 등식이 성립한다.[1]

2. 증명[편집]

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첫 번째 식부터 세 번째 식까지는 내외로 중첩된 직각삼각형의 닮음을 이용해서 증명할 수 있다. 문제 상황은 아래의 그림과 같다.

• [math(\triangle \rm ABC)]와 [math(\triangle \rm HBA)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC} = \overline{\rm HB}:\overline{\rm BA})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AB}^{2}= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm BC})]가 성립한다.
• [math(\triangle \rm ACH)]와 [math(\triangle \rm BCA)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CH} = \overline{\rm BC}:\overline{\rm CA})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AC}^{2}= \overline{\rm CH} \cdot \overline{\rm CB})]가 성립한다.
• [math(\triangle \rm BAH)]와 [math(\triangle \rm ACH)]는 [math(\rm AA)]닮음이다. 비례식 [math(\overline{\rm BH}:\overline{\rm AH} = \overline{\rm AH}:\overline{\rm CH})]가 성립하므로, 이 식을 정리하면 [math(\overline{\rm AH}^{2}= \overline{\rm BH} \cdot \overline{\rm HC})]가 성립한다.

네 번째 식은 삼각형의 넓이를 이용하여 증명할 수 있다. 즉,

3. 따름정리[편집]

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사영 정리를 이용해서 피타고라스 정리가 성립함을 보일 수 있다.



위 그림과 같은 상황을 고려하자. 사영정리에 의하여
두 식을 더함으로써 [math(b^{2}+c^{2}=a(x+y))]을 얻는데, [math(x+y=a)]이므로
의 피타고라스 정리를 얻는다.

4. 기타[편집]

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• 사영정리는 대한민국의 수학 교육과정에 직접적으로 포함되어 있지 않으나, 참고서에서는 중학교 2학년 2학기 도형의 닮음 단원에서 이 정리를 다루는 경우가 많다.