원주각
덤프버전 :
1. 개요[편집]
圓周角 / inscribed angle
그림과 같이 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대해 [math(\angle\alpha)]를 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 원주각이라 하며, 이때, [math(\angle\beta)]를 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 중심각이라 한다. 원주각과 중심각의 관계는 아래와 같다.
[math(\angle\alpha = \dfrac{\angle\beta}2)]
참고로 이 문서의 각은 호도법으로 정의된 것을 사용한다. 해당 각에 [math(180\degree/\pi)]을 곱해주면, 육십분법으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 [math(\sim)]을 썼다.
2. 성질[편집]
2.1. 성질 1[편집]
원주각은 호가 같다면, 점 [math(\rm P)]에 관계 없이 일정하다. 즉,
위 그림에서
[math(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3)]
이다.
이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다.
[1] 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때
[math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 원주각 [math(\rm\angle APB)]를 고려하고, 보조선으로 지름 [math(\rm\overline{PQ})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB})]가 성립하므로 [math(\rm\triangle PAO)], [math(\rm\triangle POB)]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서
[math(\angle{\rm APO} = \angle{\rm PAO})], [math(\angle{\rm OPB} = \angle{\rm OBP})]
가 성립한다. 그런데, [math(\rm\triangle PAO)]의 [math(\rm\angle AOP)]에 대한 외각은 [math(\rm\angle AOQ)]이고,
[math(\angle{\rm AOQ} = \angle{\rm APO} + \angle{\rm PAO} = 2\angle{\rm APO})]
이다. 마찬가지의 논법으로
[math(\angle{\rm QOB} = \angle{\rm OPB} + \angle{\rm OBP} = 2\angle{\rm OPB})]
임을 증명할 수 있다. 위를 종합하면,
[math(\angle{\rm APB} = \dfrac12\angle{\rm AOB})]
임을 얻는다.
[2] 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때
[math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]에 대한 원주각 [math(\rm\angle APB)]를 고려하자. 원의 반지름으로써 [math(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB})]가 성립하므로 [math(\rm\triangle OAB)], [math(\rm\triangle POB)]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 [math(\rm\triangle POB)]에 대하여
[math(\angle{\rm OPB} = \angle{\rm OBP})]
이 성립한다. 또한, [math(\rm\angle POB)]의 외각은 [math(\rm\angle AOB)]이고,
[math(\angle{\rm AOB} = \angle{\rm OPB} + \angle{\rm OBP} = 2\angle{\rm OPB})]
이 성립하므로 결국
[math(\angle{\rm APB} = \dfrac12\angle{\rm AOB})]
임을 얻는다.
[3] 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때
[math(\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{\rm AB})]에 대한 원주각 [math(\rm\angle APB)]를 고려하고, 보조선으로 반지름 [math(\rm\overline{OP})]를 사용하자. 이때, 원의 반지름으로써 [math(\overline{\rm OP} = \overline{\rm OA} = \overline{\rm OB})]가 성립하므로 [math(\rm\triangle PAO)], [math(\rm\triangle POB)]는 이등변삼각형임을 알 수 있다. 따라서 [math(\rm\triangle OAP)]와 [math(\rm\triangle OBP)]는 이등변삼각형이다. 따라서 다음이 성립한다:
[math(\angle{\rm OAP} = \angle{\rm OPA})], [math(\angle{\rm OPB} = \angle{\rm OBP})]
따라서
[math(\begin{aligned} \angle{\rm OBP} &= \angle{\rm OPA} + \angle{\rm APB} \\ &= \angle{\rm OAP} + \angle{\rm APB} \end{aligned})]
이고, [math(\rm\triangle QPB)]의 [math(\rm\angle PQB)]에 대한 외각은 [math(\rm\angle AQB)]이므로
[math(\angle{\rm AQB} = \angle{\rm OAP} + 2\angle{\rm APB})]
또, [math(\rm\triangle OAQ)]의 [math(\rm\angle OQA)]에 대한 외각은 [math(\rm\angle AQB)]임에 따라
[math(\angle{\rm AQB} = \angle{\rm OAP} + \angle{\rm AOB})]
이상에서
[math(\angle{\rm OAP} + \angle{\rm AOB} = \angle{\rm OAP} + 2\angle{\rm APB})]
의 결과를 얻으므로 정리하면,
[math(\angle{\rm APB} = \dfrac12\angle{\rm AOB})]
임을 얻는다.
따라서 우리는 [1]~[3]의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.
사실 [math(\alpha)]가 [math(\pi/2)]보다 큰 지 작은지 알면 [math(\sin\alpha = \overline{\rm AB}/(2R))]임을 이용하면 한 번에 나온다.
2.2. 성질 2[편집]
위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기의 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명은 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.
[1] 원주각이 예각일 때
보조선으로 [math(\rm\overline{PQ})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(\overline{\rm AO} = \overline{\rm PO} = \overline{\rm BO})]
이에 두 삼각형 [math(\rm\triangle PAO)]와 [math(\rm\triangle PBO)]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(\angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOQ} + \angle{\rm QOB})]
이고, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
[math(\angle{\rm AOQ} = 2\angle{\rm APO}, \qquad \qquad \angle{\rm QOB} = 2\angle{\rm OPB})]
이상에서
[math(\angle{\rm AOB} = 2(\angle{\rm APO} + \angle{\rm OPB}) = 2\angle{\rm APB})]
임을 알 수 있다.
[2] 원주각이 직각일 때
보조선으로 [math(\rm\overline{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(\overline{\rm AO} = \overline{\rm PO} = \overline{\rm BO})]
이에 두 삼각형 [math(\rm\triangle PAO)]와 [math(\rm\triangle PBO)]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(\angle{\rm AOB} = \angle{\rm AOP} + \angle{\rm POB})]
그런데, 삼각형의 외각은 삼각형 내부의 두 각의 크기의 합과 같으므로
[math(\angle{\rm AOP} = 2\angle{\rm OPB}, \qquad \qquad \angle{\rm POB} = 2\angle{\rm APO})]
이상에서
[math(\angle{\rm AOB} = 2(\angle{\rm APO} + \angle{\rm OPB}) = 2\angle{\rm APB})]
가 됨을 알 수 있다.
[3] 원주각이 둔각일 때
보조선으로 [math(\rm\overline{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
[math(\overline{\rm AO} = \overline{\rm PO} = \overline{\rm BO})]
이에 두 삼각형 [math(\rm\triangle PAO)]와 [math(\rm\triangle PBO)]는 이등변 삼각형이다. 따라서 위 그림과 같이 양끝각은 같다. 이상에서
[math(\angle{\rm AOB} = 2\pi - (\angle{\rm AOP} + \angle{\rm POB}))]
삼각형의 내각의 합은 [math(\pi)]임을 이용하면,
[math(\angle{\rm AOP} = \pi - 2\angle{\rm APO}, \qquad \qquad \angle{\rm POB} = \pi - 2\angle{\rm OPB})]
이상에서
[math(\angle{\rm AOB} = 2(\angle{\rm APO} + \angle{\rm OPB}) = 2\angle{\rm APB})]
가 됨을 알 수 있다.
2.3. 기타 성질[편집]
- 지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 [math(\pi)]가 되므로, 원주각은 그 반인 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:
- 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
- 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
-
상단의 그림을 해석기하학적으로 접근하면, [math(\rm\overline{AB})]를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:
[math(\begin{aligned} \angle\alpha &= \dfrac12 {\rm acrd}\, \overline{\rm AB} \\&= \arcsin{\biggl( \dfrac{\overline{\rm AB}}2 \biggr)} \\& = -i\,{\rm Log} \biggl( i \dfrac{\overline{\rm AB}}2 + \sqrt{1 - \dfrac{\overline{\rm AB}^2}4} \biggr) \end{aligned})]
[math({\rm acrd})]는 할선으로부터 그 중심각을 구하는 역할선 함수이며, [math(\arcsin)]은 역사인 함수이다. [math(\rm Log)]는 복소로그함수, [math(i)]는 허수단위이다.
3. 응용[편집]
3.1. 사인법칙[편집]
자세한 내용은 사인법칙 문서를 참고하십시오. 3.2. 원에 내접하는 사각형[편집]
위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(\rm APBQ)]를 고려하자. 이때, [math(\theta)]와 [math(\theta')]는 [math(\rm\overset{\Large\frown}{\phantom{\scriptsize;}}\llap{AB})]의 원주각이다. 따라서 두 원주각에 대한 중심각의 합은 [math(2\pi)]가 되므로
[math(\theta + \theta' = \pi)]
의 결론을 얻는데, 이는 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(\boldsymbol\pi)]가 됨을 보여준다.
위 그림과 같이 원에 내접하는 [math(\rm\square ABCD)]과 이 사각형의 [math(\rm\angle CAB)]의 외각 [math(\rm\angle PAC)]를 고려하면
[math(\angle{\rm CAB} = \pi - \angle{\rm PAC})]
이때, 원에 내접하는 사각형의 두 대각의 합은 [math(\pi)]가 됨을 증명했으므로
[math(\begin{aligned} \angle{\rm CDB} &= \pi - \angle{\rm CAB} \\ &= \pi - (\pi - \angle{\rm PAC}) \\ &= \angle{\rm PAC} \end{aligned})]
이 성립함을 알 수 있다. 이때, [math(\rm\angle CDB)]를 [math(\rm\angle PAC)]의 내대각이라 한다.
이상의 결과를 정리하면, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.
3.3. 네 점이 한 원 위에 있을 조건[편집]
그림과 같이 네 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.
- 두 점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 직선 [math(\rm AB)]에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
- [math(\angle{\rm ACB} = \angle{\rm ADB})]
3.4. 접선과 현이 이루는 각[편집]
위 그림과 같이 원 외부의 점 [math(\rm P)]에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 [math(\rm T)]이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 호 [math(\rm AT)]에 대한 원주각 [math(\rm\angle AQT)]는 [math(\rm\angle PTA)]와 같다. 즉,
[math(\angle{\rm AQT} = \angle{\rm PTA})]
가 성립한다.
이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.
점 [math(\rm Q)]를 [math(\rm Q')]으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로
[math(\angle{\rm AQT} = \angle{\rm AQ'T})]
이때, [math(\rm\overline{TQ'})]이 원의 지름이라면, 지름에 대한 원주각 [math(\angle{\rm TAQ'} = \pi/2)]임에 따라, [math(\rm\triangle TAQ')]은 직각삼각형임을 알 수 있다. 또한, 원의 지름과 접선은 수직으로 만남에 따라 [math(\angle{\rm PTQ'} = \pi/2)]이다. 따라서 다음이 성립한다.
[math(\pi - {\left(\dfrac\pi2 + \angle{\rm AQ'T} \right)} = \dfrac\pi2 - \angle{\rm AQT})]
이상에서
[math(\angle{\rm AQ'T} = \angle{\rm AQT} = \angle{\rm PTA})]
임을 얻는다.
이러한 성질을 흔히 접현각 성질이라고 줄여 부른다.
3.5. 방멱 정리 (원과 비례)[편집]
자세한 내용은 방멱 정리 문서를 참고하십시오. 4. 기타[편집]
- 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.
- 교육과정 자체는 중학교 교육과정이지만 수능 4점 도형문제에서 숨쉬듯 써먹기 때문에 사실상 고등학교 과정에도 필수라고 보면 된다.
5. 관련 문서[편집]
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2023-12-11 09:31:06에 나무위키 원주각 문서에서 가져왔습니다.