제곱근의 앵무조개

1. 개요[편집]

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spiral of Theodorus

피타고라스 정리로 유도되는, 앵무조개처럼 생긴 도형. 영어로는 spiral of Theodorus[1]라고 불린다. 무수히 많은 직각삼각형들이 한 점을 공유하며 회전하듯이 이어진다.

파일:제곱근노앵무조개.jpg

2. 상세[편집]

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밑변과 높이가 [math(1)]인 직각삼각형에서 출발하여, 길이가 [math(\sqrt2)], [math(\sqrt3)], [math(\sqrt4)], [math(\cdots)]인 선분을 빗변으로 하는 직각삼각형을 차례로 그려 나가면 앵무조개와 같은 기하학적 무늬가 나오는데, 이를 제곱근의 앵무조개라고 한다. 제곱근의 앵무조개에서 모든 직각삼각형의 밑변의 길이는 [math(1)]이다. [math(n)]번째 직각삼각형의 빗변의 길이는 [math((n+1))]번째 직각삼각형의 높이와 같고, 그 길이는 [math(\sqrt{n+1})]이다. 표로 정리하면 다음과 같다.

피타고라스 정리로 따져보면

이므로 관계가 성립한다. 나아가, [math(n)]은 자연수이므로 제곱근의 앵무조개는 한없이 많이 그릴 수 있다.

직각을 작도할 수 있고, 컴퍼스를 사용하여 길이가 같은 선을 또 그릴 수 있기 때문에, 제곱근의 앵무조개는 작도 가능하다. 만약 직각삼각형의 변의 길이에 [math(\rm cm)] 따위의 단위를 붙인다면, 정확히 [math(1\rm cm)]를 작도하는 것은 눈금 없는 자로는 불가능하겠지만, 단위를 언급하지 않았기 때문에 첫째 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 어떻게 정하든 그것이 바로 단위길이가 되므로 문제가 없다.

한편 [math(n)]번째 직각삼각형까지 이어 붙였을 때, 회전한 각은

이고 [math(\arctan{x} > tx)] (단, [math(t<1)], [math(t \in \mathbb{R})])가 성립하니 해당 급수는 발산하고, 이 조개 모양은 무한히 지속된다.

다른 시각으로 보면, 2차원에서부터 변 길이가 같은 위 단계 차원의 초입방체를 대각선에 붙인 꼴이다. 즉 처음 도형은 정사각형, 두번째는 정육면체, 세번째는 정팔포체, [math(\cdots)]의 규칙인 셈이다.

3. 연속 곡선[편집]

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이 문단에서는 편의를 위해 극좌표계를 사용한다.

1번째 직각삼각형을 [math(x)]축 위에 놓고, 반시계 방향으로 다음 직각삼각형들을 그려 나가면 이런 모습이 된다. 원점을 [math(P_0)]이라 하고, [math(n)]번째 직각삼각형에서 직각을 이루는 꼭짓점을 [math(P_n)]이라 하자. 또, [math(P_0)]의 편각을 [math(-\pi/2)]라고 정의하자. 그러면 [math(P_0)]의 좌표는
이고, [math(n \ge 1)]인 자연수 [math(n)]에 대해 [math(P_n)]의 좌표는 다음과 같다.
예를 들어서 [math(P_3)]까지의 좌표는 다음과 같다.

위 도형을 매끄럽게 연결한 곡선은 이 그림의 초록색 곡선이다.[2] [math(x \ge 0)]인 실수 [math(x)]에 대해 [math(r(x))], [math(\theta(x))]를 다음과 같이 정의하자.
그러면, 위의 초록색 곡선은 [math(P(x) = (r(x), \theta(x)))]로 나타낼 수 있다.[출처] 이 공식에 [math(n \ge 0)]인 정수 [math(n)]을 대입하면 [math(P(n) = P_n)]이 되는 것을 확인할 수 있다. 예를 들어서, 위 공식에 [math(x=0, 1, 2, 3)]을 대입하면 차례로 [math(P_0)], [math(P_1)], [math(P_2)], [math(P_3)]이 나오는 것을 확인할 수 있다. [math(r(n))]에 대한 증명은 자명하므로 [math(\theta(n))]에 대한 증명만 소개한다. [math(n=0)]일 때와 [math(n\ge1)]일 때를 나눠서 증명한다.