정팔각형

1. 개요[편집]

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正八角形 / regular octagon
모든 각의 크기와 모든 변의 길이가 같은 팔각형.

2. 상세[편집]

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팔각형의 내각의 합은 [math(1080\degree)]이므로 정팔각형의 한 각은 [math(135\degree)]이다. 한 변의 길이가 [math(a)]인 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가 [math({\left(1-\dfrac{\sqrt2}2\right)}a)]인 직각삼각형을 깎아내면 한 변의 길이가 [math((\sqrt2-1)a)]인 정팔각형을 만들 수 있다. 다시 말해, 한 변의 길이가 [math(a)]인 정팔각형을 만들기 위해서는 한 변의 길이가 [math((\sqrt2+1)a)]인 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가 [math(\dfrac{\sqrt2}2a)]인 직각삼각형을 깎아내면 된다.

이포각이 [math(2\pi)]를 넘어가기 때문에 정팔각형을 면으로 하는 정다포체가 존재하지 않는다. 그나마 일부 면이 정팔각형인 경우는 반정다면체, 존슨 다면체에서 찾아볼 수 있는데, 깎은 정육면체가 대표적이다.

쌍대는 닮음 관계의 자기 자신이다.

3. 공식[편집]

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한 변의 길이를 [math(a)], 넓이를 [math(S)], 둘레를 [math(l)]이라고 하면

• [math(S=2a^2\cot\dfrac{\pi}8=2(1+\sqrt2)a^2\approx 4.828a^2)]
• [math(l=8a)]

변심거리를 [math(r)]라고 하면

• [math(S=8r^2\tan\dfrac{\pi}8=8(\sqrt2-1)r^2\approx 3.314r^2)]

외접원의 반지름을 [math(R)]라고 하면

• [math(S=4R^2\sin\dfrac{\pi}4=2\sqrt2R^2\approx 2.828R^2)]

내접원의 반지름 [math(R)]는

• [math(R=\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)a)]