판아우벌 정리
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1. 개요[편집]
Van Aubel's theorem
1878년 네덜란드의 수학자 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel; 1830-1906)[1]이 발표한 정리.
위 그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]를 고려하고, 삼각형 내부에 임의의 점 [math(\rm O)]를 잡자. 그리고 각 꼭짓점에서 해당 점을 지나게 선을 그어 각 변과 만나는 점을 각각 [math( \rm D)], [math( \rm E)], [math( \rm F)]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.
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[math(\rm \dfrac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}+\dfrac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}}=\dfrac{\overline{\rm AO}}{\overline{\rm OD}})]
[1] '반 아우벨'이라고도 알려져 있다.
2. 증명[편집]
[math( \rm \dfrac{AF}{FB}=\dfrac{\triangle CAO}{\triangle CBO})]
[math( \rm \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{\triangle ABO}{\triangle CBO})]
이 두 식을 더해주면,
[math( \rm \dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{\triangle CAO+\triangle BAO}{\triangle CBO})]
이때 [math(\rm \triangle CAO+\triangle BAO=\square ΟCAB)]
[math(\rm \dfrac{\square OCAB}{\triangle CBO}=\dfrac{AO}{OD})]
따라서, 등식 [math( \rm \dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AO}{OD})]가 성립한다.
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