직각삼각형

1. 정의[편집]

---

直角三角形 / right-angled triangle

한 각이 직각인 삼각형. 삼각형의 내각의 합은 [math(180\degree)]이므로, 나머지 두 각은 모두 예각이며 두 각의 합은 [math(90\degree)]이다.

2. 개념[편집]

---

직각삼각형에서, 직각의 대변을 빗변(hypotenuse)이라고 하며, 나머지 두 변을 밑변(adjacent)과 높이(opposite)라고 한다. 두 변 중 어느 것을 밑변으로 정하든 상관없다.

• 직각삼각형이면서 두 변이 같은 삼각형을 직각이등변삼각형이라고 한다. 직각이등변삼각형은 양끝각의 크기가 45°도인 이등변삼각형이다.

중학교 2학년 때 배우며, 1학년 때 배운 삼각형의 합동조건, 각의 이등분선과 섞여서 나오므로 보스급 도형. 3학년 때는 삼각비까지 나오는데, 이것을 옛날사람들이 고안해낸 별까지의 거리와 연관지은 것이 바로 파섹과 연주시차다.

3. 성질[편집]

---

• 외심은 빗변의 중점
• 수심은 직각을 끼고 있는 꼭짓점
• 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신

4. 다른 도형과의 관계[편집]

---

4.1. 삼각형[편집]

---

직각삼각형은 한 각이 직각이므로 예각삼각형이 무조건 아니며, 둔각과 직각이 합쳐지면 삼각형의 세 각의 합인 180°를 넘으므로 둔각삼각형이 무조건 아니다.

구면삼각형의 경우 정삼각형이면서 직각삼각형일 수 있으며, 직각삼각형이면서 둔각삼각형일 수도 있고, 심지어는 오목삼각형일 수도 있다.

합동인 두 직각삼각형을, 높이를 공통변으로 하여 서로 붙이면 이등변삼각형이 된다.

4.2. 사각형[편집]

---

합동인 직각삼각형 두 개를 빗변을 공통변으로 하여 서로 붙이면 직사각형이 되고, 이 두 직각삼각형의 공통변인 빗변은 곧 직사각형의 대각선이다. 직각이등변삼각형인 경우에는 정사각형이 된다.

합동인 네 직각삼각형을 직각끼리 만나도록 붙이면 모든 변의 길이가 빗변의 길이와 같은 마름모가 된다.

4.3. 원[편집]

---

원의 지름의 양 끝점과 원 위의 또 다른 점을 이은 삼각형은 항상 직각삼각형이다. 그리고 원은 이 직각삼각형의 외접원이며, 위 문단에서도 언급했듯이 이 원의 중심(외심)은 직각삼각형의 빗변(원의 지름)의 중점이 된다.

4.4. 원뿔[편집]

---

높이를 회전축으로 하여 직각삼각형을 [math(360\degree)] 회전시키면 원뿔이 된다. 이 직각삼각형의 빗변은 원뿔의 모선, 밑변은 밑면의 반지름, 높이는 그대로 원뿔의 높이가 된다.

만약 빗변을 회전축으로 한다면 높이가 다른 두 원뿔이 밑면을 공유하는 형태가 된다. 그리고 이 밑면의 반지름은 빗변 그리고 빗변과 마주보는 점 사이의 거리가 된다.

5. 공식[편집]

---

• [math(\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\dfrac{\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\times\textsf{\footnotesize{(높이)}}}2)]
• 피타고라스 정리: [math(\textsf{\footnotesize{(밑변)}}^2+\textsf{\footnotesize{(높이)}}^2=\textsf{\footnotesize{(빗변)}}^2)]
• 역 피타고라스 정리(Inverse Pythagorean theorem): [math(\displaystyle \frac{1}{\textsf{\footnotesize{(밑변)}}^{2}}+\frac{1}{\textsf{\footnotesize{(높이)}}^{2}}=\frac{1}{\textsf{\footnotesize{(수선의 길이)}}^{2}})]

6. 기타[편집]

---

• 제곱근의 앵무조개라는 도형은 직각삼각형을 무한히 이어 붙여 앵무조개와 같은 모양을 만든 것이다.
• 소비자이론에서, 예산집합의 가장 기본적인 모양은 직각삼각형이다.