평행
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1. 개요[편집]
平行 / parallel
평행이란, 어떤 평면에서의 직선이나 공간에서의 평면을 한없이 늘려도 영원히 만나지 않는 상태를 말한다.[1] 다만 이건 유클리드 기하학에서만 한정되며, 비유클리드 기하학은 평행선 공준을 부정하는 것으로부터 시작하기 때문에 평행선이 존재하지 않거나(타원 공간), 평행선이 여러 개 존재한다(쌍곡 공간). 아래 성질들은 유클리드 기하학에 한한다.
직선이거나 평면인 한 도형 [math(l)]과 다른 도형 [math(m)]이 서로 평행할 때 수학에서는 [math(l//m)] 또는 [math(l \parallel m)]와 같이 표현한다. 전자는 한국에서 많이 쓰이고, 후자는 세계 보편적으로 많이 쓰인다.
좌표 평면 위의 도형을 모양과 크기가 바뀌지 않게 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것은 평행이동이라고 한다.
2. 성질[편집]
2.1. 유클리드 기하학적 성질[편집]
- 서로 평행한 두 직선에 교차하는 또 다른 직선을 그렸을 때 엇각, 동위각 등의 크기가 같다. 이에 대한 증명은 각 문서 참조.
- 서로 평행한 두 직선은 어느 점을 기준으로 삼아도 다른 직선까지의 거리가 같다.
- 직선 [math(l)]과 직선 밖의 점 [math(P)]에 대하여, [math(l)]과 평행하고 [math(P)]를 지나는 직선은 단 하나밖에 없다(유클리드 제 5공준의 변형).
이러한 성질을 활용하여 한 직선의 평행선을 작도할 수 있다.
- 직선 [math(l)] 있을 때, 그 위에 있지 않은 점 [math(P)]을 그린다.
- 점 [math(P)]를 지나고 직선 [math(l)]과 한 점에서 만나는 직선을 그리고, [math(l)]과 만나는 점을 [math(P)]′라고 한다.
- 점 [math(P)]'에 컴퍼스를 대고 원을 그린다. 이때 원이 직선 [math(\overline{PP})]′와 만나는 점을 점 [math(O)]라고 하고 원과 직선 [math(l)]이 만나는 점을 점 [math(A)]라고 한다.
- 방금 3번에서 그린 원과 같은 반지름으로 점 [math(P)]에 컴퍼스를 대고 원을 그리고, 이 원과 직선 [math(\overline{PP})]′가 만나는 점을 [math(O)]′라고 한다.
- 컴퍼스로 점 [math(O)]와 점 [math(A)]의 거리를 재고 그 길이를 반지름으로 하여 점 [math(O)]′에 컴퍼스를 놓고 원을 그린다. 이 원과 4번에서 그렸던 원을 교점을 [math(A)]′라고 한다.
- 점 [math(P)]와 점 [math(A)]′를 연결하는 직선 [math(l)]′을 그린다. 이로써 직선 [math(l)]의 평행선인 직선 [math(l)]′을 그렸다.
과거 7차 교육과정 4학년 2학기 때도 나왔으며 중1때 수행평가 용도로 종종 써먹었다.
일차함수의 그래프에서의 좌표평면의 두 직선이 서로 평행할 조건은 기울기는 같고, y절편은 달라야 한다는 점을 응용한 것이므로 다음과 같다.
- 두 직선 [math(l:y = mx+n)], [math(l':y = m'x+n')]에 대하여 [math(l)], [math(l')]이 서로 평행하기 위해서는 [math(m = m')], [math(n ≠ n')]이다. 거꾸로 [math(m = m')], [math(n ≠ n')]이면 두 직선은 서로 평행하다.
- 한편, 일차함수의 그래프에서 두 직선이 일치하려면 서로 기울기와 y절편이 모두 같아야 성립하므로 [math(m = m')], [math(n = n')]이면 두 직선은 일치한다.
또한 좌표평면 위의 점 [math(P(x, y))]를 [math(x)]축의 방향으로 [math(a)] 만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(b)]만큼 평행이동한 점을 [math(P'(x', y'))]이라고 한다면, [math(x'=x+a,\y'=y+b)]이다. 따라서 점 [math(P)]의 좌표는 [math(x+a, y+b)]이다.
2.2. 벡터적 성질[편집]
영벡터가 아닌 두 평면벡터 [math(a)]와 [math(b)]가 이루는 각을 θ(0≤θ≤π)라고 할 때 [math(a)] • [math(b)] = |[math(a)]| |[math(b)]| [math(cos)]θ인데, θ의 값이 0이면 [math(a)]와 [math(b)]는 서로 평행하면서도 방행이 서로 같고, θ의 값이 π이면 서로 평행하면서도 방향은 서로 정반대이다. 이 역 또한 성립되며, 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
[math(a)] ∥ [math(b)] ↔ [math(a)] • [math(b)] = ± |[math(a)]| |[math(b)]|
또는 영벡터가 아니고 정확히 일치하지 않는 두 벡터간에 0이 아닌 실수배 관계가 존재하면 평행으로 볼 수도 있다.
평행인 두 벡터를 외적하면 0이고, 내적하면 두 벡터의 절댓값의 곱이다.
3. 수학 외의 용례[편집]
널리 알려진 수학 용어라, 일상적인 용례에서도 쓰이곤 한다. "평행선을 달리다"라는 관용어가 대표적인 예로, 협상 등에서 아무런 접점도 없이 허송세월하는 것을 뜻한다.
3.1. 활용[편집]
- 직진 도로의 차선은 특수한 상황이 없는 경우 평행하게 만든다.
- 도로가 등에 차들을 일직선으로 주차시키는 것을 평행주차라고 한다.
- 평행봉은 철봉 2개를 평행으로 배치한 도구이다.
- 착시현상을 보여주는 소재로 잘 활용된다. 기하 도형 주변에 특정한 변화를 가하면 시각 자극이 과도하게 수용되어 실제 도형과 다른 뒤틀림 현상이 일어나는데 평행선은 두 개의 곧은 직선만으로 이루어졌다는 명확한 시각 정보를 가지고 있어 그 직선이 아닌 다른 시각 자극을 주면 그것을 뒤틀리도록 하기 쉽기 때문이다. 평행선을 이용한 착시 현상에는 다음과 같은 예가 있다.
- 평행우주 혹은 평행세계, 평행차원은 보통 다중우주를 일컫는 용어로 사용되는데, 이는 우리가 살고 있는 우주가 아닌 다른 시공간에 존재하는 우주를 뜻하는 말로 각 우주가 차원의 벽으로 나뉘어 있어 영원히 만날 수 없는 점이 평행선을 연상시키기 때문에 사용된 용어이다.
4. 역평행[편집]
antiparallel.
직선은 방향이 없지만, 방향이 있는 벡터를 이야기할때나 수학 외의 분야에서는 평행하지만 방향이 반대인 것을 가리켜 역평행하다고 한다. 일방통행이 아닌 도로와 마찬가지. 역평행인 것 중에 가장 유명한 것은 아무래도 DNA의 이중나선 구조일 것이다. 두 가닥의 진행방향이 반대다.
5. 관련 문서[편집]
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