삼체 문제 (r20210301판)

 



1. 개요
2. 상세
3. 분류
3.1. 특수가정 분류
3.2. 다체문제
4. 추가 해의 발견
5. 관련 문서



1. 개요


삼체문제()란 세 물체 간의 중력이 어떻게 작용하고, 이 결과로 어떠한 궤도 움직임을 보이는지에 관하여 다루는 문제이다. 이것의 연구가 훗날 카오스 이론의 등장에 영향을 주게된다.


2. 상세


삼체문제는 고전역학에 속하는 문제로, 아이작 뉴턴프린키피아에서 세 개 물체의 만유인력 상호작용에 대해 최초로 언급하였다.

물체 두 개가 중력이 상호간에 어떤 식으로 작용하고, 어떤 궤도 움직임을 보일 것인지에 관하여 예측하는 일은 매우 쉽다(이것을 이체문제라고 한다). 물체 두 개의 중력 상호작용은 보통 만유인력과 같은 역제곱 법칙이기 때문에 언제나 해석적인 해를 구할 수 있다. 즉, 물체 두 개의 질량이 각각 어떠하고, 어떤 위치에 놓여있는지 안다면 이들이 서로 중력을 어떻게 주고받고 어떤 궤도 운동을 하는지 알아내는 건 식은 죽 먹기다.
하지만 물체가 3개라면 얘기는 달라지는데, 세 물체 간에 작용하는 중력과 그에 의한 궤도 운동을 예측하는 건 쉬운 일이 아니다. 삼체문제는 물체들이 움직일 수 있는 궤도의 차원이 이체문제보다 한 차원 더 높고, 적용해야할 변수가 하나 더 늘어났기 때문이다.

글로 표현해서 실감이 잘 안나겠지만 삼체문제는 수리물리학 분야에서 손꼽히는 골치아픈 난제이다. 18세기 중반부터 라그랑주, 라플라스, 아이작 뉴턴 등 여러 쟁쟁한 수학자들이 달려들었지만 이렇다할 결과물을 내놓지 못했다. 결국 1887년에 앙리 푸앵카레[1]라는 수학자가 삼체문제의 일반해를 구하는 것이 불가능하다는 것을 증명하면서 이 부분에 도전하는 수학자들은 없어졌다. (사실 도전하는 사람들이 없어졌다기 보다는 푸앵카레가 푸는 것이 불가능하다는 것을 보임으로써 문제를 푼 것이다. 그리고 특수해에 대한 연구는 계속 이루어지고 있다.) 현대에는 일반적인 상황에 대해서는 대부분 수치해석적인 방법으로 삼체문제를 해결한다.

파일:external/upload.wikimedia.org/500px-Lagrange_very_massive.svg.png
다만 특수해에 해당하는 몇가지 경우는 발견되었다. 대표적으로 라그랑주점이 있는데, 모체를 중심으로 하는 직선상의 물체들(L3, L4, L5)들이 그것이다.
이 지점은 모체에서 중심각이 각각 120° 정도 떨어진 곳(정삼각평형해)에 위치한 곳이다.[2] 이 특수한 경우는 조제프루이 라그랑주가 1775년에 발견했다.
이 외에도 8자형 궤도운동, Broucke-Henon-Hadjidemetriou family 이렇게 총 세 개의 특수해가 존재한다.

수소 원자 모형을 제외한 원자 모형이 만들어지지 않은 이유이기도 하다. 원자 번호는 달리 말하면 전자의 개수를 의미하며[3], 수소의 바로 다음 원소인 헬륨의 원자 모형을 세우는 과정이 딱 삼체 문제가 되기 때문. 헬륨이 이런 꼴이니 나머지 원소는 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

3. 분류



3.1. 특수가정 분류


삼체문제에서 특수해를 구하기 위해 특수한 가정을 세우는데, 여기에는 몇가지 분류가 있다.
  • 평면 삼체문제: 세 물체가 모두 동일한 평면 위에서 궤도 운동을 하는 경우
  • 제한 삼체문제: 세 물체 중 하나가 나머지 두 개의 물체에 대해 영향을 미치지 않을만큼 질량이 작은 경우
  • 원제한 삼체문제: 세 물체가 원 궤도를 그리며 운동하는 경우. 라그랑주점이 여기에 속한다.

제한 삼체문제를 잘 이용하면 근사적인 이체문제의 해로 구할 수 있다. 실제로 태양계에서는 태양질량이 압도적으로 높기 때문에 행성들이 에 가까운 타원 궤도를 그릴 수 있는 것이다.


3.2. 다체문제


삼체를 넘어서 사체, 오체로 넘어가면 더 어려워진다. 4체 이상은 일반해는커녕 특수해조차 발견되지 않았다. 이 경우에는 이체문제의 해를 통해 근사적으로 풀거나 수치적인 방법으로 풀어야 한다.

아이작 아시모프의 SF 소설 전설의 밤은 6성계에 위치한 행성을 배경으로 한다. 항성들이 워낙 복잡하게 움직이다보니 전체적인 문명 수준에 비해 천문학 지식은 매우 뒤떨어졌다. 최근에야 기본적인 만유인력의 법칙이 발견되었을 정도.


4. 추가 해의 발견


2013년 세르비아의 물리학자 밀로반 즈바코프 및 벨즈코 드미트라지노비치가 13개의 새로운 해를 동일질량, 각운동량 없는 삼체문제에서 발견한 이후, 새로운 해가 계속해서 발견되고 있다.
발표된 해
발견자
문제 종류
해의 개수
출처
2013
밀로반 즈바코프 및 벨즈코 드미트라지노비치
동일질량, 각운동량없는 삼체문제
13
#
2015
아나 후도말(지도교수: 벨즈코 드미트라지노비치)
동일질량, 각운동량없는 삼체문제
14
#
2017
리샤오밍 및 랴오스쥔
동일질량, 각운동량없는 삼체문제
669(+1223)
###
2018
리샤오밍 및 랴오스쥔
비동일질량, 자유낙하 삼체문제
234
#


5. 관련 문서




[1] 푸앵카레 추측을 제시한 그 수학자 맞다.[2] 실제로 토성위성테티스, 텔레스토, 칼립소디오네, 헬레네, 폴리데우케스 등이 토성을 중심으로 이러한 궤도운동을 하고있다.[3] 정확히는 원자핵을 이루는 입자들 중, 양성자의 개수를 의미한다. 하지만, 이온이 아닌 일반적인 원자전자의 개수가 양성자의 개수와 동일하므로, 전자의 개수를 원자 번호와 같다고 봐도 대개는 무방하다.

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